Пример 1.4. Найдите произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы А (2 х 3), размер В - (3 х 2).

Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, следовательно, умножение возможно. При этом матрица С = А ·В будет иметь размерность (2 х 2).

Найдем элементы с_ij матрицы С:

Для нахождения элемента c₁₁ находим сумму произведений элементов первой строки матрицы А и первого столбца матрицы В:

c₁₁ = (1 строка А и 1 столбец В) = l ·1 + 2· 0 + 0 · 2 = 1;

Аналогично c₁₂ = (1 строка А и 2 столбец В) = 1 · 2 + 2 · 1 + 0 · 2 = 4;

c₂₁= (2 строка А и 1 столбец В) = 3 · 1 + 1 · 0 + 1 · 2 = 5;

c₂₂= (2 строка А и 2 столбец В) = 3 · 2 + 1 · 1 + 1 · 2 = 9.

Получили, что . Ответ:

Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

1 (А·В) · С = A· (В·С);

2. (A + В) · С = А·С + В·С:

3. В общем случае (порядок матриц при умножении важен).

Замечание: Свойством коммутативности обладают произведения:

А·Е = Е·А=А,

А·О = О·A = О,

где E и О - единичная и нулевая матрицы соответственно.

Контрольные вопросы:

1. Что называется матрицей?

2. Какие матрицы называются квадратными?

3. Что называется главной диагональю матрицы?

4. Какие виды квадратных матриц существуют?

5. Какие матрицы называются равными?

6. Что значит «транспонировать» матрицу?

7. Что называется суммой матриц?

8. Что называется произведением матриц?

9. Что называется произведением матрицы на число?

10. В чем состоит обязательное условие существование произведения матриц?

11. Какими свойствами обладает произведение матриц?

Лекция 2. Определители. Свойства определителей.

План:

1. Понятие определителя матрицы.

2. Свойства определителей.

3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

4. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

5. Расчет определителей в электронных таблицах Microsoft Excel.

1. Понятие определителя матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие неко­торое число |A| или detA, называемое её определителем, следующим образом:

1. Если дана квадратная матрица первого порядка А = (а₁₁), тогда

detA = |A| = а₁₁.

Пример 2.1. Найдите определитель матрицы А = (-4)

Решение: detA = |A| = -4.

2. Если дана квадратная матрица второго порядка, то

|A| =

Вычисление определителя второго порядка легко проиллюстрировать схемой:

Пример 2.2. Найдите определитель матрицы А =

Решение:

Ответ: |A| = 14.

3. Определитель матрицы А третьего порядка вычисляется по правилу треугольников (Сарруса)

основания равнобедренных треугольников параллельны главной диагонали

основания равнобедренных треугольников параллельны побочной диагонали

=

Пример 2.3. Найдите определитель матрицы А =

Р ешение:

= 4 + 4 + 0 – 6 = 2. Ответ: |A| = 2.