3. Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки).

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием или взятием его как интеграла от некоторой сложной функции удается далеко не всегда. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удаётся свести заданный интеграл к новому интегралу, который чаще всего является табличным.

В основе метода подстановки лежит утверждение, являющееся следствием правила дифференцирования производной сложной функции. Пусть задана сложная функция y=f(g(x)). Тогда исходный интеграл можно привести к виду: . Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.

Приведем алгоритм нахождения неопределенного интеграла методом замены переменной.

1. Введем новую переменную u таким образом, чтобы под знаком интеграла стояла функция, содержащая и, и производная и (u=g(x)).

2. Найдем du по формуле: du=и'dx.

3. Выразим dx через du (при этом помним, что если множитель в одной части формулы находился в числителе, то в другую часть он перейдет в знаменатель и наоборот: если множитель находился в знаменателе, то в другую часть он перейдет в числитель).

4. Подставим и и dx в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к табличному относительно переменной и: .

5. Вычислить интеграл с переменной и.

6. Перейти от переменной интегрирования и к исходной переменной х.

Рассмотрим применение метода подстановки на конкретных примерах.

Пример 19.8. Найдите .

Решение. 1. Выполним подстановку u=х² с целью прийти к интегралу от функции е^и.

2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=(х²)'dx =2хdx.

3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du=2хdx): .

4. Подставим и и dx в исходный интеграл: = . Видим, что х можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и: .

5. Для нахождения полученного интеграла константу вынесем за знак интеграла: . По таблице неопределенных интегралов находим, что = .

6. Поскольку u=х², = = .

Ответ: =

Пример 19.9. Найдите .

Решение. 1. Выполним подстановку u= . Тогда под знаком интеграла будет стоять функция от u ( ) и производная u (u'=cosx).

2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=( )' dx = cosхdx.

3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du=cosхdx): .

4. Подставим и и dx в исходный интеграл: = . Видим, что cosх можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и: .

5. По таблице неопределенных интегралов находим, что = .

6. Поскольку u= , = = .

Ответ: = .

4. Метод интегрирования по частям

Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух множителей u и dv, причем dх обязательно входит в dv. Далее пользуются формулой интегрирования по частям:

.

При вычислении интегралов методом по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на u и dv. Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1. Если под знаком интеграла встречается логарифмическая или обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx), то их обозначают за и, остальные множители – за dv.

2. В интегралах вида , , , где Р(х) – многочлен, k-const, за и принимают многочлен Р(х), остальные множители – за dv.

Для нахождения неопределенного интеграла методом по частям можно использовать следующий алгоритм:

1. Разбиваем подынтегральное выражение на u и dv (в соответствии с правилом, рассмотренным выше).

2. Находим dи=и'dx и .

3. Подставляем u, v, dи и dv в формулу и вычисляем получившийся интеграл.

Рассмотрим применение метода интегрирования по частям на примерах.

Пример 19.10. Найдите .

Решение. 1. Поскольку под знаком интеграла встречается логарифмическая функция, то ее принимаем за u: u=lnx. Остальные множители принимаем за dv: dv=хdx.

2. Находим dи=и'dx: dи=(lnx)'dx= .

Находим : = (полагаем С=0).

3. Воспользуемся формулой : = lnx∙ - = =lnx∙ - = .

Ответ: = .

Пример 19.11. Найдите .

Решение. 1. Исходный интеграл имеет вид , следовательно, за и принимают многочлен (и=2х-3), остальные множители – за dv: dv=е^3хdx.

2. Находим dи=и'dx: dи=(2х-3)'dx=2dx.

Находим : = (полагаем С=0).

3. По формуле имеем: =(2х-3)∙ - = = .

Ответ: = .

Контрольные вопросы:

1. Какие основные методы интегрирования существуют?

2. Что называют непосредственным интегрированием?

3. Как вычисляются интегралы от некоторых сложных функций?

4. В чем заключается сущность метода интегрирования подстановкой?

5. В чем сущность метода интегрирования по частям?