Лекция 19. Основные методы интегрирования неопределённых интегралов
План:
Непосредственное интегрирование.
Интегралы от некоторых сложных функций.
Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки).
Метод интегрирования по частям.
Непосредственное интегрирование
Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример 19.1.
Найдите
.
Решение. Воспользуемся свойствами неопределенного интеграла: представим интеграл как сумму и разность соответствующих интегралов:
=
.
Вынесем константы за знак интеграла:
и воспользуемся
табличными интегралами. Получим, что
=
=
.
Пример 19.2.
Найдите
.
Решение. Каждое
слагаемое, стоящее под знаком интеграла,
представим в виде степени с рациональным
показателем. Для этого применим следующие
свойства степени: а-п =
;
.
Тогда
=
.
Представим данный интеграл как сумму
и разность интегралов, вынесем константы
за знак интеграла:
.
Воспользовавшись табличным интегралом
,
получим:
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Пример 19.3.
Найдите
.
Решение.
Разделив почленно числитель на
знаменатель, получим
=
=
.
Представим данный интеграл как сумму и разность интегралов, вынесем константы за скобки:
=
=
.
Пример 19.4.
Найти
.
Решение. Раскрывая скобки и применяя табличные интегралы, получим:
=
=
=
.
Интегралы от некоторых сложных функций
Некоторыми
сложными функциями будем считать
функции вида f(kx+b),
где k и b
– любые действительные числа. Так,
-
примеры некоторых сложных функций. В
аргументе этих функций переменная х
находится только в первой степени!
Для нахождения
интеграла от некоторых сложных функций
будем использовать формулу:
.
Ее правильность легко проверяется
дифференцированием обеих частей.
Можно также применять следующий алгоритм:
Выбрать табличный интеграл, к которому сведется данный.
Вместо х в табличном интеграле подставить выражение kх+b из исходного интеграла.
В правую часть добавить множитель
,
где k – коэффициент
перед х.
Рассмотрим нахождение интеграла от некоторых сложных функций на примерах.
Пример 19.4.
Найдите
.
Решение. Видим, что под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .
В нашем примере в
качестве аргумента выступает угол 2х,
Выделим коэффициент k,
стоящий перед х: k=2,
следовательно, в правую часть мы должны
добавить множитель
,
то есть
.
Тогда получим, что
.
Пример 19.5.
Найдите
.
Решение. Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .
В примере в качестве
аргумента выступает выражение 1-х.
Выделим коэффициент k,
стоящий перед х: k=-1,
следовательно, в правую часть добавим
множитель (-1). Тогда получим, что
.
Пример 19.6.
Найдите
.
Решение. Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .
В примере в качестве
аргумента выступает выражение 0,5х+3.
Выделим коэффициент k,
стоящий перед х: k=0,5,
следовательно, в правую часть добавим
множитель 1:0,5=2. Тогда получим, что
.
Пример 19.7.
Найдите
.
Решение. Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .
В примере в качестве
аргумента выступает выражение 5-3х.
Выделим коэффициент k,
стоящий перед х: k=-3,
следовательно, в правую часть добавим
множитель (-1/3). Тогда получим, что
=
.