Лекция 18. Неопределенный интеграл и его свойства.

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

План:

11. Понятие неопределенного интеграла.

12. Основные свойства неопределенного интеграла.

13. Таблица основных интегралов.

6. Понятие неопределенного интеграла

Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: по данной функции f(x) требуется найти её производную. Для дифференцирования существует обратная операция: нахождение первоначальной функции F(x) по известной производной f(x). Эта операция получила название интегрирование (от лат. integratio – восстановление).

Так, попытаемся по известной производной восстановить первоначальную функцию. Она будет иметь вид: y=х³. Обозначим известную функцию f(x) (в нашем примере f(x)=3х²), а первоначальную функцию F(x) (в нашем примере F(x)=х³). Функцию F(x) назовем первообразной данной функции f(x).

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а;b), если для всех x из этого промежутка справедливо равенство:

F'(x) = f(x), или, что то же самое, dF(x)= f(x)dx.

Пример 18.1. Найдите какую-либо первообразную для функции f(x)= .

Решение. Функция F(x)= lnx является первообразной для f(x)= , т.к. F'(x)=(lnx)'= = =f(x).

Нетрудно заметить, что первообразная lnx не является единственной для функции f(x)= . В самом деле, в качестве первообразной можно было взять и функции lnx +3, lnx-7 и вообще lnx +С, где С- произвольная постоянная, потому что (lnx+С)' = .

Приведём формулировку теоремы, выражающей основное свойство первообразных.

Теорема 1. Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на некотором промежутке (а;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой: F(x) + C, где С – константа.

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом (читается: «интеграл от эф от икс де икс»).

Таким образом, по определению = F(x) + C.

Функция f(x) называется подынтегральной функцией,

f(x)dx – подынтегральным выражением,

х - переменной интегрирования,

символ знаком неопределённого интеграла.

Пример 18.2. Найдите .

Решение. Т.к. cosx = (sinx)', то функция F(x)= sinx является одной из первообразных для функции f(x)=cosx. Поэтому = sinx+С.

Г еометрически неопределённый интеграл представляет собой семейство кривых, каждая из которых получается из любой другой параллельным переносом вдоль оси Oy (рис. 18.1). График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Встает вопрос: для всякой ли функции существует неопределенный интеграл? Справедлива следующая теорема:

Теорема 2. Всякая непрерывная на (а;b) функция имеет на этом промежутке первообразную, а следовательно, и неопределённый интеграл.

7. Основные свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих непосредственно из определения.

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: .

Докажем это свойство: = (F(x) + C)' = F'(x) = f(x).

Благодаря данному свойству правильность интегрирования проверяют дифференцированием.

Пример 18.3. Докажите справедливость равенства: .

Решение. Воспользуемся свойством 1: найдем производную неопределенного интеграла. , что совпадает с подынтегральным выражением. Следовательно, интеграл найден верно.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: = d(F(x) + C)' = F'(x)dx = f(x)dx.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс константа С: .

Рассмотрим ещё два свойства неопределённого интеграла, которые значительно расширяют возможности интегрирования.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если k-const, k 0, то

. (6)

5. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

8. Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть операция, обратная дифференцированию, можно получить следующую таблицу неопределенных интегралов:

1. 2. 3. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

4. 5. 6. 14. 15. , а – const 16. 17. 18. 19.

В справедливости этих формул, получивших название табличных интегралов, можно убедиться, как и в примере 18.3, с помощью дифференцирования. Производная правой части должна быть равна подынтегральной функции.

Контрольные вопросы:

3. Какая операция является обратной для операции дифференцирования? В чем сущность этой операции?

4. Что называют первообразной функции f(x)?

5. Сколько у функции существует первообразных?

6. Что называют неопределенным интегралом от функции f(x)?

7. Каков геометрический смысл неопределенного интеграла?

8. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

9. Как проверить правильность нахождения интеграла?