Глава 3. 3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной

Интегральное исчисление – один из важнейших разделов математического анализа, тесно связанный с дифференциальным исчислением. Интегральное исчисление возникло из потребностей создать общий метод нахождения площадей фигур и объемов тел.

Истоки интегрального исчисления следует искать в Древней Греции. Евдокс Книдский (ок. 408–355 до н.э.) создал метод исчерпывания, которым пользовался при вычислении площадей криволинейных фигур. Этот метод был усовершенствован Архимедом (ок. 287–212 до н.э.) и позволил ему найти объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Архимед предвосхитил многое идеи интегрального исчисления, но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исследования.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) правильно вычислил ряд площадей (криволинейную трапецию он представлял составленной из бесконечного числа вертикальных отрезков длиной f(x)) и объемов (тело разрезалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования продолжили итальянские математики Бонавентура Кавальери (1598–1647) и Эванджелиста Торричелли (1608–1647). Французский математик Пьер Ферма (1601–1665) уже в 1629 году умел находить площадь под кривой , т.е. по существу вывел формулу . Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования.

Первым человеком, сумевшим обнаружить связь между вычислением площади под кривой и задачей о проведении касательной, был учитель Ньютона, английский математик Исаак Барроу (1630–1677). Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII века, исчисления еще не было. Нужно было выделить общие идеи, лежащие в основе многих частных задач, установить связь интегрирования и дифференцирования. Это сделали Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц, открывшие независимо друг от друга формулу, известную нам как формула Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно сформировался общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Термин "интегральное исчисление" возник в результате переписки Лейбница и И.Бернулли. Вероятно, оно происходит от лат. integratio –"восстановление". Действительно, при интегрировании мы "восстанавливаем" функцию по известной производной. Существует и другая точка зрения. Integеr по-латыни – "целый", интегрирование - процесс объединения в целое малых элементов, из которых составлена фигура (при нахождении площади, объема).

Методы математического анализа активно развивались в XVIII веке. В первую очередь следует назвать Леонарда Эйлера (1707–1783), завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций. Большое значение имели результаты русских ученых Пафнутия Львовича Чебышева (1828–1894), доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции, а также Михаила Васильевича Остроградского (1801–1862) и В.Я.Буняковского (1804-1889).

Строгое изложение теории интегралов появилось только в XIX веке. Решение этой задачи связано с именем Огюстена Коши (1789-1857). Теорию интегралов Коши обобщил крупнейший немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены создателями теории меры (обобщение понятие площади и объема) Камилем Жорданом (1838–1922) и Анри Лебегом (1875–1941).