Лекция 16. Асимптоты графика функции

План:

1. Понятие асимптот

2. Алгоритм поиска асимптот

1. Понятие асимптот

Одним из важных этапов построения графиков функций является поиск асимптот. С асимптотами мы встречались неоднократно: при построении графиков функций , y=tgx, y=сtgx. Мы определяли их как линии, к которым «стремится» график функции, но никогда их не пересечет. Пришло время дать точное определение асимптот.

Асимптоты бывают трех видов: вертикальная, горизонтальная и наклонная. На чертеже асимптоты принято обозначать пунктирными линиями.

Рассмотрим следующий искусственно составленный график функции (рис. 16.1), на примере которого хорошо видны все виды асимптот:

х=а – вертикальная асимптота

у=c – горизонтальная асимптота

у=kx+b – наклонная асимптота

Дадим определение каждому виду асимптот:

1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой функции , если .

2. Прямая у=с называется горизонтальной асимптотой функции , если .

3. Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой функции , если .

Геометрически определение наклонной асимптоты означает, что при →∞ график функции сколь угодно близко подходит к прямой у=kx+b, т.е. они практически совпадают. Разность практически одинаковых выражений стремится к нулю.

Отметим, что горизонтальные и наклонные асимптоты рассматриваются только при условии →∞. Иногда их различают на горизонтальные и наклонные асимптоты при →+∞ и →-∞.

2. Алгоритм поиска асимптот

Для поиска асимптот можно использовать следующий алгоритм:

1. Для поиска вертикальных асимптот находим точки, не принадлежащие области определения (х=а) и проверяем следующее условие: если , то х=а – вертикальная асимптота.

Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим .

• Если с – число, то у=с – горизонтальная асимптота;

• Если с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

3. Для поиска наклонных асимптот находим .

• Если k – число, отличное от 0, то находим . Тогда у=kx+b – наклонная асимптота;

• Если k – бесконечность, то наклонных асимптот нет.

Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем – их нет.

Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:

Пример 16.1. Найдите асимптоты кривой .

Решение. 1. Найдем область определения функции: х-1≠0; х≠1.

Проверим, является ли прямая х=1 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х=1: .

Получили, что , следовательно, х=1 - вертикальная асимптота.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : с= .

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: с= = . Т.к. с=2 (число), то у=2 – горизонтальная асимптота.

Т ак как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х=1 и горизонтальную асимптоту у=2. Для наглядности график данной функции представлен на рис. 16.2.

Пример 16.2. Найдите асимптоты кривой .

Решение. 1. Найдем область определения функции: х-2≠0; х≠2.

Проверим, является ли прямая х=2 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х=2: .

Получили, что , следовательно, х=2 - вертикальная асимптота.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : с= .

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: с= = . Т.к. с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

3. Для поиска наклонных асимптот находим :

= = = .

Получили неопределенность вида , воспользуемся правилом Лопиталя: = =1.Итак, 1. Найдем b по формуле: .

b = = =

= = .

Получили, что b= 2. Тогда у=kx+b – наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: у=x+2.

Т

Рис. 16.3

аким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х=2 и наклонную асимптоту у=x+2. Для наглядности график функции представлен на рис. 16.3.

Контрольные вопросы:

1. Что называют вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптотой?

2. Сколько у функции может существовать вертикальных асимптот?

3. Может ли функция вообще не иметь асимптот?

4. Как обозначаются асимптоты на графике функции?

5. Какие из данных линий могут быть асимптотами: х=-4; у=-2x+6; у=x²+6; у=-3; х= ; ; х=0; у=- x. Определите их вид.