Лекция 15. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

План:

1. Понятие выпуклой и вогнутой функции

2. Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

1. Понятие выпуклой и вогнутой функции

При исследовании функции бывает полезно установить, на каких промежутках функция выпуклая, а на каких – вогнутая.

Д ля определения выпуклой и вогнутой функции проведем касательные к графикам функции в произвольных точках х₁ и х₂ (рис. 15.1 и 15.2):

График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.

График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.

Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба. В точке перегиба касательная будет пересекать кривую.

Ф ункция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.

Так, график функции на рис.15.3 является выпуклым на промежутках (- ;х₁) и (х₂; + ); вогнутым на (х₁;х₂). График функции имеет две точки перегиба: (х₁;у₁) и (х₂;у₂).

2. Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

Интервалы выпуклости и вогнутости функции находят с помощью следующей теоремы:

Теорема. 1. Если функция имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале вогнутый.

2. Если функция имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале выпуклый.

Представим критерий выпуклости-вогнутости функции в виде схемы:

f(x) вогнутая
f(x) выпуклая

Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.

Заметим, что может менять свой знак лишь в тех точках, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода.

Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку х_о меняет знак, то точка графика с абсциссой х_о является точкой перегиба.

При исследовании функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба можно использовать следующий алгоритм:

1. Найти область определения функции.

2. Найти первую производную функции .

3. Найти вторую производную функции .

4. Определить критические точки второго рода ( (x_o)=0 или (x_o) не существует).

5. На числовой оси отметить критические точки второго рода и определить знаки второй производной на каждом из получившихся интервалов.

6. Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя соответствующие критерии; выписать абсциссы точек перегиба (если они есть) и значение функции в этих точках.

Пример 15.1. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции: = .

3. Найдем вторую производную функции: =2х-6.

4. Определим критические точки второго рода ( 0): 2х-6= 0 х=3.

5. На числовой оси отметим критическую точку х=3. Она разбивает область определения функции на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Расставим знаки второй производной функции 2х-6 на каждом из полученных интервалов:

при х=0 (-∞;3) (0)=-6<0;

при х=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

т. перегиба

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞).

Значение х=3 – абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при х=3:

= =2. Итак, точка с координатами (3;2) – точка перегиба.

Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;3),

вогнутый при х (3;+ ∞); (3;2) – точка перегиба.

Пример 15.2. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение. 1. Данная функция определена в том случае, когда знаменатель отличен от нуля: х-7≠0 .

2. Найдем первую производную функции:

= = =

= .

3. Найдем вторую производную функции: = =

= =

= .

Вынесем в числителе 2∙(х-7) за скобки:

= =2∙ =

= = = .

4. Определим критические точки второго рода: не может быть равна нулю, поскольку числитель дроби 108≠0.

не существует, если (х-7)³=0 - критическая точка второго рода.

5. На числовой оси отметим критическую точку х=7 выколотой точкой, поскольку в этой точке функция не определена. Эта точка разбивает область определения функции на два интервала (-∞;7) и (7;+∞). Расставим знаки второй производной функции = на каждом из полученных интервалов:

при х=6 (-∞;7) (6)= <0;

при х=8 (7;+∞) (8)= >0.

вогн.

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции является выпуклым при х (-∞;7), вогнутым при х (7;+ ∞).

Точка с абсциссой х=7 не может быть точкой перегиба, т.к. в этой точке функция не существует (терпит разрыв).

Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;7), вогнутый при х (7;+ ∞).

Контрольные вопросы:

1. Когда график функции называется выпуклым на интервале ? Вогнутым на интервале ?

2. Какую точку называют точкой перегиба графика функции?

3. Может ли точка разрыва являться точкой перегиба графика функции?

4. В чем заключается критерий выпуклости-вогнутости графика функции?

5. Какие точки называются критическими точками второго рода?

6. В чем заключается достаточное условие существования точек перегиба?