4. Достаточные условия существования экстремума

Теорема. Пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки х_о. Тогда:

1. если производная при переходе через точку х_о меняет знак с плюса на минус, то точка х_о является точкой максимума;

2. если производная при переходе через точку х_о меняет знак с минуса на плюс, то точка х_о является точкой минимума.

Представим критерий нахождения точек экстремума функции в виде схемы:

хо – критическая точка: f`(xо)=0 или f`(xо) не существует
хо – точка минимума	хо	хо
хо – точка максимума	хо	хо

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции будем использовать следующий алгоритм:

1. Найти область определения функции.

2. Найти первую производную функции.

3. Определить критические точки первого рода (f'(x_o)=0 или f'(x_o) не существует).

4. На числовой оси отметить критические точки и определить знаки производной на каждом из получившихся интервалов.

5. Найти интервалы монотонности, выписать точки экстремума функции (если они есть), используя соответствующие критерии, вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 14.1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции: = .

3. Определим критические точки первого рода (у'=0): =0;

х₁=1 или х₂=5.

4. На числовой оси отметим критические точки х₁=1 и х₂=5. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала (-∞;1), (1;5); (5;+∞). Расставим знаки производной функции у' = на каждом из полученных интервалов:

при х=0 (-∞;1) у'(0)=5>0;

при х=2 (1;5) у'(2)= =-3<0;

при х=6 (5;+∞) у'(6)= =5>0.

т.max

т.min

5. Согласно критерию возрастания и убывания функция возрастает при х (-∞;1] [5;+∞), убывает при х [1;5].

Согласно критерию нахождения точек экстремума х=1 – точка максимума, х=5 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках: = = - максимум функции;

= = = = - минимум функции.

Ответ: возрастает при х (-∞;1] [5;+∞), убывает при х [1;5];

х=1 – точка максимума; = - максимум функции;

х=5 – точка минимума; = - минимум функции.

Пример 14.2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции по правилу производной произведения:

= =

3. Определим критические точки первого рода (у' =0): =0;

х₁=0 или 2+х=0 (е^х≠0 для всех х из множества R).

4. На числовой оси отметим критические точки х=-2 и х=0. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала (-∞;-2), (-2;0); (0;+∞). Расставим знаки производной функции у'= на каждом из полученных интервалов:

т.max

т.min

5. Согласно критерию возрастания и убывания функция возрастает при

х (-∞;-2] [0;+∞), убывает при х [-2;0].

Согласно критерию нахождения точек экстремума х=-2 – точка максимума, х=0 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках: = - максимум функции;

- минимум функции.

Ответ: возрастает при х (-∞;-2] [0;+∞), убывает при х [-2;0];

х=-2 – точка максимума; = - максимум функции;

х=5 – точка минимума; - минимум функции.

Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется возрастающей на интервале ? Какая функция называется убывающей на интервале ?

2. В чем заключается критерий возрастания и убывания функции?

3. Что называют точками максимума и минимума функции? Каково их обобщающее название?

4. В чем отличие экстремумов от точек экстремума?

5. Какие точки функции называются критическими точками первого рода?

6. Всякая ли критическая точка является точкой экстремума?

7. В чем заключается критерий нахождения точек экстремума функции?