Лекция 14. Возрастание и убывание, экстремумы функций

План:

1. Признаки возрастания и убывания функции

2. Понятие точек экстремума и экстремумов функции

3. Необходимые условия существования экстремума

4. Достаточные условия существования экстремума

1. Признаки возрастания и убывания функции

Напомним определение возрастающей и убывающей функции на интервале .

Ф ункция называется возрастающей на интервале , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если , , , то .

Пример возрастающей функции приведен на рис. 14.1.

Ф ункция называется убывающей на интервале , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если , , , то .

Пример убывающей функции приведен на рис. 14.2.

Интервалы, в которых функция либо только возрастает, либо только убывает, называются интервалами монотонности.

Сформулируем критерий возрастания и убывания функции:

Теорема. Пусть - дифференцируемая на интервале функция. Функция возрастает на тогда и только тогда, когда её производная больше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Функция убывает на тогда и только тогда, когда её производная меньше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Представим критерий возрастания и убывания функции в виде схемы:

f(x)
f(x) 

2. Понятие точек экстремума и экстремумов функции

С реди всех точек области определения функции наибольший интерес для нас будут представлять точки экстремума функции.

Введем понятие окрестности. Окрестностью точки будем называть любой интервал , содержащий эту точку.

Т очка х_о из области определения функции называется точкой минимума функции, если для всех х из некоторой окрестности точки х_о выполнено неравенство: (рис. 14.3).

Точка х_о из области определения функции называется точкой максимума функции, если для всех х из некоторой окрестности точки х_о выполнено неравенство: (рис. 14.4).

Значения функции в точках минимума и максимума называются соответственно минимумом и максимумом функции.

Т очки минимума и максимума называются точками экстремума функции, а максимум и минимум – экстремумами функции.

Функция может иметь несколько экстремумов.

Так, функция на рис. 14.5 имеет три точки экстремума (х₁, х₃ – точки максимума, х₂ – точка минимума) и, соответственно, три экстремума (у₁, у₃ – максимумы функции, у₂=0 – минимум).

3. Необходимые условия существования экстремума

Необходимое условие существования экстремума функции даёт теорема Ферма:

Т еорема Ферма. Если точка х_о – точка экстремума функции и в ней существует производная f`(x_o), то эта производная равна нулю, т.е. f'(x_o)=0.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис. 14.6): касательные, проведенные к графику функции в точках экстремума (при условии существования в них производной, а, следовательно, единой касательной), параллельны оси ОХ. Угловой коэффициент α касательных, проведенных к графику функции в точках экстремума, равен 0, и в силу геометрического смысла производной ( = ), производная функции в этих точках обращается в ноль.

Т очки, в которых производная функции равна нулю или не существует, назовем критическими точками (первого рода). Только среди критических точек могут быть точки экстремума.

Но любая ли критическая точка является точкой экстремума? Рассмотрим всем хорошо известную функцию . Найдем ее производную и критические точки: =0 .

Итак, является критической точкой функции , но она не является точкой экстремума. Таким образом, теорема Ферма дает только необходимые условия существования экстремума.

Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума.