2. Понятие дифференциала высших порядков

С помощью производных высших порядков вводятся дифференциалы высших порядков. Как и производные, они определяются последовательно.

Так второй дифференциал d²y есть дифференциал от первого дифференциала, при том же самом приращении Δх.

Таким образом, d²y= d(dy) или .

Аналогично ;

Итак, дифференциалом п-го порядка от функции называется дифференциал от дифференциала порядка п-1 при одном и том же приращении Δх.

Рассмотрим пример нахождения дифференциала функции:

Пример 13.4. Найдите дифференциал четвертого порядка функции .

Решение. Найдем dy по формуле : = .

Найдем по формуле : = . Для удобства нахождения последующих дифференциалов представим как .

Тогда = .

= .

Ответ: .

3. Правило Лопиталя

В предыдущей главе мы учились находить пределы различных функций. Но всегда ли это возможно? Пусть нужно вычислить . Любой предел мы начнем раскрывать с оценки: окажется, что перед нами неопределенность вида . И никакой из ранее известных нам методов в данном случае неприменим.

Тогда на помощь придет правило Лопиталя. Под правилом Лопиталя понимают прием раскрытия неопределенностей вида или .

Теорема (правило Лопиталя). Для вычисления предела , где = , достаточно найти предел отношения производных данных функций (если он существует), т.е. = .

Замечание. 1. Правило Лопиталя справедливо также для случаев

• неопределенности вида при х→∞;

• неопределенности вида при х→х_о и х→∞.

2. Правило Лопиталя может быть применено последовательно несколько раз для раскрытия неопределенностей вида или .

Рассмотрим примеры нахождения пределов функций с использованием правила Лопиталя.

Пример 13.5. Вычислите .

Решение. Поскольку в примере встречается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

= = =е⁰=1.

Ответ: =1.

Пример 13.6. Вычислите .

Решение. Поскольку в примере рассматривается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

= = . Снова получили неопределенность вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя еще раз:

= = . Повторно применяя правило Лопиталя, получим

= = =0, т.к. е^х→∞ при х→∞.

Ответ: =0.

Пример 13.7. Вычислите .

Решение. Поскольку при х→0 функция lnx→∞, то имеет место неопределенность вида 0∙∞ и правило Лопиталя применить нельзя. Попытаемся преобразовать выражение, стоящее под знаком предела: = . Тогда под знаком предела будет неопределенность вида , к которой правило Лопиталя применимо:

= = = = =- =- =0.

Ответ: =0.

Контрольные вопросы.

1. Что называют второй производной функции ?

2. Что называют производной п-го порядка функции ?

3. Что называют дифференциалом второго порядка функции ?

4. Что называют дифференциалом п-го порядка функции ?

5. В каком случае для вычисления пределов применяется правило Лопиталя? Приведите формулировку правила Лопиталя.

6. Допустимо ли применять правило Лопиталя несколько раз подряд?