Лекция 1. Понятие матрицы. Операции над матрицами.

План:

1. Понятие матрицы.

2. Виды квадратных матриц.

3. Равенство матриц.

4. Операции над матрицами.

1. Понятие матрицы.

Матрицей размера (m x n) (m и n - натуральные чис­ла) называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов.

Матрицы обозначают большими латинскими буквами А, В, С…

В общем виде матрицу А можно представить как

Элементы матрицы обозначают a_ij , где i - номер строки, j - номер столбца (1≤.i≤.m, 1≤j≤.n).

Е сли в матрице m=n, то такая матрица называется квадратной порядка n и записывается

Элементы , , ..., образуют главную диагональ квадратной матрицы , а элементы а_1п, а_2(п-1), ..., а_п1 – побочную диагональ.

2. Виды квадратных матриц.

B_n-треугольная матрица E_n-единичная матрица O_n-нулевая матрица

3. Равенство матриц.

Матрицы одного размера А = (a_ij) и В = (b_ij) называ­ются равными, если равны их соответствующие элементы, т.е. a_ij = b_ij.

Так, матрица А = равна матрице В = (А = В), но матрица А не равна матрице С = , т.к. с₁₁ (порядок расположения элементов матрицы важен для проверки равенства матриц).

4. Операции над матрицами.

   1. Транспонирование матриц

М атрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной и обозначается А^т.

Пример 1.1. Транспонируйте матрицу

Решение. Операция транспонирования матрицы А осуществляется следующим образом: первая строка матрицы А становится первым столбцом матрицы А^Т , вторая строка А - вторым столбцом А^т, т.е.

А^т =

4.2. Сложение (вычитание) матриц

Складывать (вычитать) можно только такие матрицы, которые имеют одинаковую размерность.

Суммой (разностью) матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) называется матрица С, элементы которой равны суммам (разно­стям) соответствующих элементов матриц А и В, т.е. c_ij = a_ij + b_ij (c_ij = a_ij - b_ij).

Пример 1.2. Найдите сумму и разность матриц и

Решение:

D = A – B =

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1. A + B = B + A;

2. (A + B) + C = A + (B + C).

4.3. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А = (а_ij) на число k (k R) называется матрица С той же размерности, элементы кото­рой равны произведению числа k на соответствующие элементы матрицы А, т.е. c_ij = k · а_ij

Операция умножения матрицы на число обладает свойствами:

1. 

2. где

3. 

Пример 1.3. Найдите произведение матрицы А на число k = 3, если

Решение:

4.4. Умножение матриц

Матрицу А можно умножать на матрицу В тогда и только то­гда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

П роизведением матрицы А размера (m x n) на матрицу В размера (п x р) называется матрица С = (с_ij) размера (m x р), элементы которой равны сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-гo столбца матрицы В.

П олучение элемента с_ij можно представить в виде схемы (рис. 1.1):

Рис. 1.1