4. Геометрический смысл дифференциала

Пусть - дифференцируемая в точке х функция, график которой изображен на рис. 12.2. Отметим на графике точку М, абсцисса которой равна х. В точке М проведем касательную МТ к графику функции .

Д адим аргументу х приращение . Из полученной точки восстановим перпендикуляр до пересечения с касательной (точка Т) и с графиком функции . Отметим на чертеже приращение аргумента (совпадает с длиной отрезка МN) и приращение функции .

Покажем, что дифференциал будет совпадать с длиной отрезка NТ. Рассмотрим треугольник МNТ – прямоугольный (по построению), . В этом треугольнике МN= , а . Выразим сторону NТ через МN и угол α: NТ= МN .

В силу геометрического смысла производной тангенс угла α, который образует касательная с положительным направлением оси Ох, равен значению производной функции в точке х: .

Поскольку NТ=МN , то NТ= , а есть ни что иное, как дифференциал . Получили, что NТ= .

С формулируем геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке х равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке ( ).

Мы рассмотрели геометрический смысл дифференциала вогнутой функции. Можно показать, что для выпуклой функции (рис. 12.3) геометрический смысл дифференциала останется таким же. Отличие будет лишь в том, что дифференциал NТ окажется больше приращения функции.

Контрольные вопросы.

1. Что называют касательной к графику функции в точке М?

2. В чем заключается геометрический смысл производной?

3. Какой вид имеет уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке х_о?

4. Что называют дифференциалом функции?

5. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?

Лекция 13. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило лопиталя

План:

1. Понятие производной высших порядков

2. Понятие дифференциала высших порядков

3. Правило Лопиталя

1. Понятие производной высших порядков

Пусть - дифференцируемая на интервале функция. Тогда ее производная - тоже функция, определенная на интервале . И у нее можно найти производную, называемую производной второго порядка или второй производной. Итак, производная от первой производной называется второй производной функции и обозначается или .

Пример 13.1. Найдите вторую производную функции .

Решение. Найдем у': .

Найдем как производную от у': = .

Ответ: =

Видим, что вторая производная – тоже функция, следовательно, существует производная второй производной ( )', называемая третьей производной или . Так, в примере 13.1 =( )'=6.

Аналогично вводится определение четвертой производной ;

пятой производной ;

п-й производной .

Таким образом, производной п-го порядка функции называется производная от производной (п-1)-го порядка (если она существует).

Пример 13.2. Найдите четвертую производную функции .

Решение. Найдем у' как производную сложной функции (и=3х):

.

Найдем как производную от у': =( )'= = .

=( )' = .

у⁽⁴⁾=( )' = = .

Ответ: у⁽⁴⁾= .

Пример 13.3. Найдите п-ю производную функции .

Решение. Найдем у’ как производную сложной функции (и=2х):

= = .

=( )'= = .

=( )'= = .

Очевидно, что у^(п)= .

Ответ: у^(п)= .