Лекция 12. Геометрический смысл производной. Дифференциал функции
План:
Геометрический смысл производной
Уравнение касательной к кривой
Понятие дифференциала функции
Геометрический смысл дифференциала
1. Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной связан с понятием касательной.
Р
ассмотрим
функцию
- непрерывную на отрезке [a;
b]. Выберем на графике
точку М(хо; f(хо))
и произвольную точку N;
проведем секущую МN
(рис. 12.1).
Касательной к графику функции в точке М будем называть предельное положение секущей МN, когда точка N, двигаясь по кривой, стремится к точке М.
Если на рис. 12.1
провести вспомогательный отрезок МР
и рассмотреть прямоугольный треугольник
МNР, то длина
стороны NР=
,
а МР=
.
Найдем
как отношение противолежащего катета
к прилежащему:
.
Тогда
.
Мы нашли
.
Как же теперь осуществить переход к
углу
,
который образует касательная с
положительным направлением оси Ох?
Очевидно, что если
будет
стремиться к 0, то угол β будет стремиться
к углу
.
Эта же связь будет соблюдаться и для
тангенсов углов
и β, т.е.
.
Найдем предел
:
,
а полученный предел есть ни что иное,
как значение производной в точке хо.
Таким образом,
=
.
Кроме того, касательная – прямая с
угловым коэффициентом k=
.
Тогда геометрический смысл
производной можно сформулировать
следующим образом:
Производная функции в точке хо равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке хо, и равна тангенсу угла наклона, который образует касательная с положительным направлением оси ОХ: k= = .
Геометрический смысл производной широко применяется при решении задач.
Пример 12.1.
Найдите угол, образованный касательной
к графику функции
в точке хо=0,5 с осью
абсцисс.
Решение. Воспользуемся геометрическим смыслом производной: = .
Найдем
:
=
.
Вычислим значение
производной функции в точке хо=0,5:
=
=
.
Получили, что
=
=4
.
Ответ: .
2. Уравнение касательной к кривой.
Составим уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке хо. Нам известны координаты точки М(хо; уо) и угловой коэффициент прямой k = .
Тогда уравнение прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом k, имеет вид (лекция 6): .
Получили, что
- уравнение касательной, проведенной
к графику функции
в точке хо.
Пример 12.2.
Составьте уравнение касательной,
проведенной к графику функции
в точке хо=0.
Решение. Для
составления уравнения касательной
удобно использовать следующую схему:
1. Найдём уо: уо=
.
2. Найдём
:
=
=
.
3. Вычислим
:
=
.
4. Подставим уо
и
в уравнение касательной:
у=х - уравнение касательной, проведенной
к графику функции
в точке хо=0.
Ответ: у=х
3. Понятие дифференциала функции.
Пусть функция
имеет в точке х отличную от нуля
производную
.
Это означает, что в точке х существует
предел
.
Тогда используем теорему 1 о пределе функции (лекция 9): функцию , стоящую под знаком предела , можно представить в виде: =b+α(х), где α(х) – бесконечно малая функция при → (т.е. ).
Выражение
,
стоящее под знаком предела, можно
записать как
,
где
при
.
Выразим
из этого выражения:
или
.
Таким образом,
приращение функции
представляет собой сумму двух слагаемых
и
.
При этом второе слагаемое
стремится к нулю быстрее, чем
,
поэтому говорят, что
есть бесконечно малая функция более
высокого порядка, чем
.
Следовательно, второе слагаемое
практически не влияет на сумму. Поэтому
первое слагаемое
называют главной частью приращения
функции
.
Дифференциалом
функции
в точке
называется главная часть ее приращения,
равная произведению производной функции
на приращение аргумента, и обозначается
(или
):
.
Найдем дифференциал
независимой переменной
,
для этого рассмотрим функцию
.
Воспользуемся определением дифференциала:
,
т.е. дифференциал независимой переменной
равен приращению этой переменной:
.
Поэтому определение
дифференциала функции можно записать
так:
.
Итак, дифференциал функции
равен произведению производной этой
функции на дифференциал независимой
переменной.
Из формулы
следует равенство
.
Теперь можно ввести новое обозначение
производной:
.
Пример 12.3.
Найдите дифференциал функции
.
Решение. По формуле находим:
.