4. Производная сложной функции.

Правила дифференцирования существенно расширяют возможности практического нахождения производных. Однако наиболее мощным средством нахождения производных является правило дифференцирования сложных функций.

Рассмотрим функции у=f(и) и и=g(x). Тогда функция у=f(g(x)) будет называться сложной функцией. Например, если , а , то будет являться сложной функцией.

Для нахождения производной сложной функции будем использовать следующую теорему: если функция g(x) дифференцируема по переменной х, а функция f(и) дифференцируема по переменной и, то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема по переменной х, причем её производная вычисляется по формуле: у'_х=f'(и)·g'(x).

Функцию f(и) называют основной функцией, а и – «сложностью». Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: у'_х=f'(и)·и'.

При нахождении производных конкретных функций целесообразно принимать какое-либо выражение за и, чтобы прийти к одной из следующих формул дифференцирования сложных функций:

(un)' = п∙un-1·u' ·u' ·u'	(sin u)' = cos u·u' (cos u)' = -sin u·u' (tg u)' = ·u' (ctg u)' = - ·u'
(eu)' = eu·u' (au)' = au lna·u' (ln u)' = ·u' (logau)' = ·u'	(arcsin u)' = ·u' (arccos u)' =- ·u' (arctg u)' = ·u' (arcctg u)' =- ·u'

Рассмотрим нахождение производных сложных функций на конкретных примерах.

Пример 11.5. Найдите производную функции .

Решение. Функция - сложная функция. Обозначим и придем к показательной функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

= . Заменяя и через придем к производной вида:

= = .

Ответ:

Пример 11.6. Найдите производную функции .

Решение. Функция - сложная функция. Обозначим и придем к тригонометрической функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

= = = .

Ответ:

Пример 11.7. Найдите производную функции .

Решение. Представим исходную функцию в виде степени: . Обозначим и придем к функции .

Тогда = = = =

= = .

Ответ:

Пример 11.8. Найдите производную функции у=arcsin е^2х .

.

Решение. Обозначим и придем к функции .

Тогда (arcsin u)' = ·u' = .

Видим, что е^2х тоже сложная функция, обозначив , найдем её производную:

(здесь мы применили краткую запись решения).

Получили, что = .

Ответ:

Контрольные вопросы.

1. Что называют производной функции в точке?

2. Какая функция называется дифференцируемой на интервале ?

3. Как называется операция нахождения производной функции?

4. Какие правила дифференцирования существуют?

5. Каким образом находится производная сложной функции?