Глава 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Дифференциальное исчисление – один из важнейших разделов математического анализа, в котором изучаются производные и их приложения к исследованию функций.

Дифференциальное исчисление было создано сравнительно недавно, в конце XVII века. К этому понятию одновременно в 70-х-80-х годах XVII века независимо друг от друга подошли два величайших человека своего времени: английский ученый Исаак Ньютон (1643–1727) и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716). Грандиозные успехи естествознания и математики в последующие три столетия были во многом определены великим открытием Ньютона и Лейбница.

Ньютон исходил из необходимости описывать движение тел и развитие различных процессов. Он мыслил как физик – кинематически. Для него суть дифференцирования – нахождение скорости тела в любой момент времени по известному пути. Свое открытие он сделал в 1665-1666 годах, когда Англию постигла эпидемия чумы, и Ньютон вынужден был находиться в своем поместье Вулсторп. Впоследствии он написал работу "Метод флюксий и бесконечных рядов", где метод флюксий – не что иное, как дифференцирование. Но эта работа была опубликована лишь в 1736 году. Сочинения Ньютона по математике увидели свет лишь в XVIII веке, однако кое-что было известно его коллегам из писем. Так, некоторые свои результаты в математическом анализе Ньютон сообщил Лейбницу в 1676 году, когда тот уже сам пришел к открытию дифференциального исчисления.

Подход Лейбница был геометрическим. На него большое впечатление произвели работы Паскаля, в особенности задачи о проведении касательной. В 1765 году им были сделаны первые шаги по созданию нового исчисления: в рукописях Лейбница появляются основные понятия, вводятся операции и символы. Именно Лейбниц ввел термин "дифференциальное исчисление", который с удивительной точностью описывает суть теории. Differentia по латыни – "разделение", "раздробление". Процесс дифференцирования состоит в замене функции на маленьком участке ее дифференциалом, т.е. кусочком ее касательной. Участку, на котором производится замена, Лейбниц дал название "бесконечно малый". Свои результаты Лейбниц опубликовал лишь в 1684 году в короткой статье из шести страниц "Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления". С этого момента начинается официальная история математического анализа.

Следует отметить, что в предыдущие полвека Блез Паскаль (1623–1662), Пьер Ферма (1601–1665) и другие ученые фактически дали правила разыскания производных многих функций. Ферма предложил правила нахождения экстремумов. Ньютон и Лейбниц завершили это развитие, они разработали аппарат дифференциального исчисления до максимальных пределов, применили дифференциальное исчисление к решению многих задач геометрии и механики.

Исследования Лейбница в значительной степени определили развитие методов анализа в Европе. Среди его последователей – братья Иоганн (1667–1748) и Якоб (1654–1705) Бернулли, Пьер Вариньон и Гийом де Лопиталь (1661–1704). Именно Лопиталь в 1696 году стал автором первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.