2. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Имеют место следующие теоремы о непрерывных функциях:

Теорема 2.1. Пусть функции у=f(x) и у=g(x) непрерывны в точке х_о. Тогда

1. сумма или разность f(x)± g(x) непрерывны в точке х_о;

2. произведение f(x)·g(x) непрерывно в точке х_о;

3. при дополнительном условии g(x_о)≠0 частное f(x)/g(x) также непрерывно в точке х_о.

Теорема 2.2. Пусть функция и=g(x) непрерывна в точке х_о, а функция у=f(и) непрерывна в точке и_о=g(х_о). Тогда сложная функция у=f(g(x)) непрерывна в точке х_о.

3. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Н епрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Рассмотрим одно из них.

Теорема 3.1 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, тогда она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения.

И

Рис. 10.3.

зображенная на рисунке 10.3 функция непрерывна на отрезке [a; b]. Наибольшее значение М функция достигает в точке х_о, а наименьшее т – в точке а.

Для любого х [a; b] имеет место неравенство: т≤ f(x)≤ М.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

4. Непрерывность элементарных и сложных функций.

К непрерывным на области определения относятся все основные элементарные функции:

1. у=с, где с – const;

2. у=х^α, где - степенная функция;

3. у=а^х, где а>0, а≠0 – показательная функция;

4. у=log_ax, где а>0, а≠0 – логарифмическая функция;

5. у=sinx, у=сosx, у=tgx, у=ctgx – тригонометрические функции;

6. у=arcsinx, у=arcсosx, у=arctgx, у=arcctgx – обратные тригонометрические функции.

Всякие функции, которые получаются из основных элементарных путем выполнения над ними конечного числа арифметических операций или составления сложных функций называются элементарными функциями.

Все элементарные функции непрерывны на области определения.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

Пример 10.2. Найдите .

Решение. Функция 2^ctgx непрерывна в точке х= , поэтому ее предел совпадает со значением функции в этой точке: .

5. Точки разрыва, их классификация.

Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х_о называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е. и .

Если А₁ = А₂, то точка х_о называется точкой устранимого разрыва, если А₁≠ А₂, то точка х_о называется точкой конечного разрыва.

Точки разрыва первого рода можно представить следующим образом:

Рис. 10.4

х=1 – точка разрыва I рода

точка устранимого разрыва точка конечного разрыва

т.к. т.к. и

Точка разрыва х_о называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел равен бесконечности.

Точки разрыва второго рода можно представить следующим образом:

Рис. 10.5

х=1 – точка разрыва II рода

т.к. т.к. и

Можно привести много примеров хорошо известных нам основных элементарных функций, имеющих точки разрыва второго рода:

• у= , х=0 – точка разрыва II рода;

• у=tgx, х= – точки разрыва II рода;

• у=сtgx, х= – точки разрыва II рода.

Рассмотрим на примере, как находить точки разрыва функции и определять их род.

Пример 10.3. Найдите точки разрыва функции у= и определите их род.

Решение. Функция у= является элементарной, следовательно, она непрерывна на области определения.

Найдем D(у): х²-1≠0; х≠1 и х≠-1. Получили, что точки х=1 и х=-1 являются точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем предел функции в указанных точках.

Д ля точки х=-1 , следовательно, х=-1 - точка разрыва II рода.

Для точки х=1

, следовательно, х=1 - точка разрыва I рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке совпадают, то х=1 – точка устранимого разрыва. Положив у= при х=1, разрыв устранится, функция станет непрерывной.

График данной функции представлен на рисунке 10.6.

Пример 10.4. Найдите точки разрыва функции у= и определить их род.

Решение. Функция у= состоит из двух частей: у = х - 1 (при ) и у=2-х (при ). Функции у=х-1 и у=2-х являются элементарными, непрерывными на множестве R.

Имеет ли функция у= разрыв? Она определена во всех точках отрезка [-1; 4]. Найдем левосторонний и правосторонний пределы данной функции в точке х=2.

Л евосторонний предел: .

Правосторонний предел: .

П

Рис. 10.7

оскольку левосторонний и правосторонний пределы функции конечны, то х=2 – точка разрыва I рода. Но эти пределы не равны между собой, следовательно, х=2 – точка конечного разрыва.

График данной функции представлен на рисунке10.7.

Контрольные вопросы:

1. Когда функция называется непрерывной в точке х_о?

2. Что называют точками разрыва функции?

3. Какие точки называются точками разрыва I рода? II рода?

4. Каковы основные теоремы о непрерывных функциях?

5. Сформулируйте свойства непрерывных функций.

6. Какие функции являются непрерывными на области определения?