6. Замечательные пределы

В курсе высшей математики рассматриваются несколько пределов, получивших название «замечательные». Приведем некоторые из них:

- первый замечательный предел;

- второй замечательный предел, аналогичный тому, что был рассмотрен нами в лекции 8, где х принадлежало множеству натуральных чисел.

Пользуясь этими формулами, можно вычислить ряд пределов.

Пример 9.9. Вычислите .

Решение. Поскольку под знаком синуса стоит угол 3х, домножим числитель и знаменатель дроби на 3, чтобы выражение под знаком синуса и выражение в знаменателе стали равны: .

Вынесем число 3 за знак предела (следствие 1): .

Применив первый замечательный предел, получим, что .

Ответ: =3.

Пример 9.10. Вычислите .

Решение. Постараемся преобразовать выражение под знаком предела таким образом, чтобы прийти ко второму замечательному пределу. Необходимо, чтобы числитель дроби был равен 1. Для этого разделим числитель и знаменатель данной дроби на 3; получим дробь вида: . Теперь постараемся преобразовать показатель степени 5х таким образом, чтобы в нем можно было выделить множитель (2х/3). Для этого 5х домножаем на 2 и 3 и делим на 2 и 3:

.

П

е

рименив к выражению в скобках второй замечательный предел, получим, что .

Ответ: = .

Контрольные вопросы.

1. Что называют пределом функции в точке х_о?

2. Когда предел функции называют левосторонним? Правосторонним?

3. В каком случае функция имеет единый предел в точке х_о?

4. Какие свойства предела функции в точке существуют?

5. Можно ли утверждать, что неопределенность вида равна 0? Какие приемы раскрытия данной неопределенности существуют?

6. Что называют пределом функции при →∞?

7. Какое правило для вычисления пределов функций при →∞ существует?

8. Какие замечательные пределы Вам известны?

Лекция 10. Непрерывность функции

План:

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке.

2. Основные теоремы о непрерывных функциях.

3. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

4. Непрерывность элементарных и сложных функций.

5. Точки разрыва, их классификация.

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке

Пусть функция у=f(x) определена в точке х_о и некоторой окрестности этой точки.

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х_о, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Пример 10.1. На основании определения непрерывной функции выясните, являются ли функции у=f(x) и у=g(x) на рис. 10.1 и 10.2 непрерывными в точке х=1.

Решение: Функции у=f(x) и у=g(x) определены в точке х=1 и некоторой окрестности этой точки. Найдем предел и значение функций в данной точке.

. Видим, что функция у=f(x) непрерывна в точке х=1.

Для функции у=g(x), хотя функция определена в точке х=1, не существует. Следовательно, функция у=g(x) не является непрерывной в точке х=1.

Функция у=f(x) называется непрерывной на промежутке (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.