Лекция 9. Предел функции
План:
Понятие предела функции.
Односторонние пределы.
Основные теоремы о пределах функции.
Техника вычисления пределов.
Предел функции на бесконечности
Замечательные пределы.
Понятие предела функции.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки хо, быть может, за
исключением самой точки хо.
Число b
называется пределом функции
при
х, стремящемся к хо (или
в точке хо), если для любого
наперед заданного
существует
такое
,
что для всех х, удовлетворяющих
условиям
,
,
имеет место неравенство:
.
Если b
есть предел функции
при
→
то пишут:
.
Это определение предела функции называют определением предела по-Коши (или определением на языке ε-δ).
Приведем геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке (рис. 9.1). Рассмотрим функцию .
П
A-
ε
Рис. 9.1.
выбирают близкое к нулю, это точность,
с которой вычисляется данный предел.
Чем меньше
,
тем выше точность. Для любого
можно подобрать такое число
,
что если выбирать х из промежутка
(хо-δ; хо+δ),
то соответствующие значения
будут принадлежать промежутку (b-ε;
b+ε).
Другими словами, число b является пределом функции при → , если для всех х, близких к хо и отличных от хо, соответствующие значения функции мало чем отличаются от числа b.
Отметим, что при нахождении предела значение функции в точке хо может быть равно b, может отличаться от b, может не существовать.
Р
ассмотрим
следующие примеры:
Рис. 9.2. Рис. 9.3. Рис. 9.4.
На рис. 9.2 функция
определена в точке хо=1,
причем
(т.к.
для всех х, близких к 1, соответствующие
значения функции близки к 2).
На рис. 9.3 функция
не определена в точке хо=1,
но её предел в этой точке существует,
причем
.
Это связано с тем, что при нахождении
предела выбирают значения х, близкие
к хо, но отличные от
хо.
На рис. 9.4 функция
определена в точке хо=1,
но ее значение в точке не совпадает со
значением предела:
,
а g(1)=1.
Односторонние пределы.
Если при нахождении
предела функции выбирать значения
переменной х только слева от точки
хо, то такой предел
называется левосторонним
и обозначается
.
Если при нахождении
предела функции выбирать значения
переменной х только справа от точки
хо, то такой предел
называется правосторонним
и обозначается
.
Левосторонний и
правосторонний пределы могут совпадать,
а могут отличаться друг от друга.
Рассмотрим функции
и
,
графики которых представлены на рис.
9.5 и 9.6. Найдем левосторонний и правосторонний
пределы этих функций в точке хо=1.
Рис.
9.5.
Для функции
,
т.е. левосторонний и правосторонний
пределы равны.
Для функции
,
а
,
т.е. левосторонний и правосторонний
пределы различны.
Функция имеет в точке единый предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правосторонний, так и левосторонний пределы, и они равны.
Так, функция на рис. 9.6 не имеет предела в точке хо=1, поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке различны.
Основные теоремы о пределах функции.
Приведём без доказательства следующие теоремы о пределах функции.
Теорема 1.
Функцию
,
стоящую под знаком предела
,
можно представить в виде:
=b+α(х),
где α(х) – бесконечно малая функция
при
→
(т.е.
).
Теорема 2 (о
пределах суммы, произведения и частного).
Если функции
и
определены
в некоторой окрестности точки хо
и существуют пределы
,
,
то существуют пределы их суммы
,
произведения
и,
если
,
,
то и частного
и имеют место равенства:
;
;
,
при
,
.
Отметим некоторые следствия из теоремы 2.
Постоянный множитель может быть вынесен из-под знака предела.
(поскольку
);
Предел разности равен разности пределов.
;
Предел степени равен степени предела.
.
Рассмотрим, как данные теоремы применяются при нахождении предела функции в точке.
Пример 9.1.
Вычислите:
.
Решение. Используя теорему 2.1 и следствие 2, получаем, что предел суммы и разности равен сумме и разности соответствующих пределов:
.
В силу следствия
1, постоянный множитель может быть
вынесен за знак предела:
=
.
В силу следствия 3, предел степени равен степени предела:
=
По определению
,
следовательно,
=
.
Ответ: =49.
Таким образом, для
вычисления предела многочлена при
→
достаточно вместо переменной х
подставить значение хо и
выполнить соответствующие действия,
т.е.
.
Пример 9.2.
Вычислите:
.
Решение. Чтобы
применить теорему 2.3 о пределе частного
,
проверим выполнение следующих условий:
,
.
Поскольку
,
найдем
и предел многочлена
:
.
Применим теорему
2.3:
.
Ответ:
=
.