5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Числовая последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Например, последовательность является бесконечно малой, так как ее предел равен нулю ( ). Последовательность также бесконечно малая, так как .

Последовательность {а_n} называется бесконечно большой, если для любого наперед заданного положительного числа А найдется такой номер элемента N, что для всех n>N выполняется неравенство . В этом случае пишут: .

Пример 8.5. Покажите, что числовая последовательность - бесконечно большая.

Решение. Какое бы положительное число А мы ни выбрали (например, А=1000), найдется равное ему (если А – натуральное) или большее его натуральное число N (N=1000), что для всех n>N (п=1001) выполняется неравенство ( ). Следовательно, , т.е. числовая последовательность - бесконечно большая.

Аналогично, числовая последовательность {3п-2} из примера 8.2 - бесконечно большая и .

Установим связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.

Теорема. Пусть {а_n} – бесконечно большая последовательность, тогда последовательность обратных величин - бесконечно малая.

И обратно, если {а_n} – бесконечно малая последовательность (причем а_п≠0), тогда последовательность обратных величин - бесконечно большая.

Так, если последовательность - бесконечно большая, то последовательность обратных величин - бесконечно малая.

6. Признак сходимости монотонной последовательности. Число е.

Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем признак существования предела последовательности.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

В качестве примера рассмотрим последовательность а_n= . Выпишем элементы этой последовательности:

п=1, а₁=2;

п=2, а₂= =2,25;

п=3, а₃= 2,37;

п=4, а₄= 2,44.

Видим, что каждый следующий элемент последовательности больше предыдущего. Данная последовательность является возрастающей.

Кроме того, данная последовательность ограничена, при этом для любого п N справедливо неравенство: . Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность а_n= имеет предел, равный е: . Существование этого предела впервые установил Д.Бернулли в 1728 году.

Число е – иррациональное число, его приближенное значение равно 2,72 (е = =2,718281828459045…). Число е называют неперовым числом, а обозначение е введено Эйлером в начале ХVIII века.

Отметим, что число е является основанием логарифма, получившего название натурального: lnx=log_ex. Натуральные логарифмы наиболее часто употребляются на практике.

Контрольные вопросы.

1. Что называют числовой последовательностью?

2. Какая числовая последовательность называется возрастающей? Убывающей? Приведите примеры возрастающих и убывающих числовых последовательностей.

3. Какая числовая последовательность называется ограниченной?

4. Дайте определение предела последовательности.

5. Какими свойствами обладает предел последовательности?

6. Какие последовательности называются бесконечно малыми? Бесконечно большими?

7. Как связаны бесконечно малые и бесконечно большие последовательности?

8. Сформулируйте признак сходимости монотонной последовательности.