Введение

Перед Вами курс лекций по дисциплине «Математика (Элементы высшей математики)». Давайте подумаем, а какими бы хотели видеть студенты наши лекции? Наверное, они должны быть для студента

• понятны;

• интересны;

• конспект лекций должен быть полным, четким и логичным.

Руководствуясь этими принципами, и был составлен данный курс лекций.

Действительно, изучение основ высшей математики студентами средних специальных учебных заведений часто сопряжено со значительными трудностями. В большинстве учебников теоретический материал изложен в форме, недоступной уровню восприятия многих студентов. За сложными математическими выкладками и абстрактными рассуждениями часто теряется суть материала. А если студент не понимает суть правил и теорем, как же тогда решать задачи?

Цель данного курса лекций: помочь студентам преодолеть трудности, связанные с изучением основ высшей математики, показать сферы приложения теоретических знаний к решению задач. Теоретический материал в пособии изложен простым, доступным, но по возможности строгим языком. Приведен план каждой лекции, который поможет студенту видеть структуру изучаемого материала, а при подготовке к экзамену продумать план своего ответа на каждый экзаменационный вопрос.

Все математические понятия, формулы и теоремы подчеркнуты, выделены жирным шрифтом или курсивом. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением примеров и разбором решения ключевых задач. Всё это дает возможность студенту, пропустившему лекцию, разобраться в изучаемом материале за ограниченное число дней.

Для лучшего понимания и усвоения материала в работе приводятся рисунки, схемы, таблицы. Благодаря им обучение становится более наглядным и доступным. В конце каждой лекции даны контрольные вопросы, позволяющие студенту оценить степень сформированности своих знаний. Кроме того, каждая глава содержит краткий экскурс в историю возникновения изучаемого раздела математики. В приложении приведены основные справочные материалы, включающие в себя все важнейшие формулы из рассматриваемых разделов курса.

Первая часть курса лекций включает в себя материал к трем первым разделам дисциплины «математика (элементы высшей математики)»:

• элементы линейной алгебры;

• элементы аналитической геометрии;

• основы математического анализа:

  • теория пределов

  • дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной;

  • интегральное исчисление функции одной действительной переменной.

Курс лекций разработан в полном соответствии с рабочей и примерной программами для специальностей 230103 «Автоматизированные системы обработки информации и управления» (по отраслям), 230106 «Техническое обслуживание средств вычислительной техники и компьютерных сетей».

Данный курс лекций может быть использован преподавателями математики при подготовке и проведении занятий, а также студентами колледжа при самостоятельном изучении материала.

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Линейная алгебра – наиболее важная в приложениях часть алгебры. Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к линейной алгебре, была теория линейных уравнений. Развитие последней привело к созданию теории определителей, а затем теории матриц и связанной с ней теории векторных пространств и линейных преобразований в них. В нашем курсе мы будем рассматривать два ключевых аспекта линейной алгебры: теорию матриц и определителей.

Идея введения определителей восходит к известному немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646–1716), чей математический гений безграничен и чье имя еще не раз будет упомянуто нами. Лейбниц пришел к определителям при решении систем линейных уравнений в 1678 году. Впервые он сообщил о своём новом методе решения систем в 1693 году в письме к Гийому Лопиталю. В одном из следующих писем Лейбниц писал: "На мой взгляд, это одно из лучших открытий в анализе". К сожалению, Лейбницем в 1700 году был опубликован лишь метод обозначения коэффициентов без каких-либо практических приложений и выводов, поэтому открытие определителей прошло практически незамеченным.

В 1750 году определители были вновь изобретены женевским математиком Крамером, при этом Крамер употребил очень простые и понятные названия – "строки" и "столбцы" определителя, которые сразу же вошли в обиход. Метод Крамера был замечен и очень скоро стал основной частью школьной программы.

Первое исследование, посвященное определителям, было опубликовано французским математиком Вандермондом в 1772 году. Он впервые изложил цельную теорию, ему принадлежат многие классические результаты (например, условие равенства определителя нулю).

Первые полные изложения теории принадлежат Бине и французскому математику Огюстену Коши (1789–1857). Именно Коши ввел в употребление термин "детерминант" (от лат. determinо- "ограничивать", "определять") или "определитель". Бине и Коши одновременно занялись теорией определителей, и, естественно, получили некоторые общие результаты. Во избежание споров о приоритете, они договорились сделать доклады в Академии Наук на одном заседании и опубликовать свои статьи одновременно (1812 год). Коши посвятил теории определителей еще 14 мемуаров. Именно он совсем близко подошел к современному обозначению элементов определителя, употребляя запись . Считают, что именно Коши превратил теорию определителей в самостоятельную дисциплину, оторвав ее от линейных уравнений.

Следующий этап в тридцатых-сороковых годах XIX века составили 30 работ Якоби, среди которых завершающая статья "О построении и свойствах определителей". Якоби ввел в рассмотрение функциональные определители и сделал их методом исследования в математическом анализе. Ему и Коши принадлежит термин "определитель п-го порядка". Но на этом математики не остановились: они стали рассматривать бесконечные определители (Котерич в 1770 г., Жюль Пуанкаре (1854-1912) и Кох в 1885).

Ко второй половине XIX века, казалось, не осталось такого раздела математики, куда бы не проникли определители. Но задача, породившая их: в каких случаях система линейных уравнений имеет решения, и если имеет, то сколько их? - еще не была решена. Такое исследование было проведено немецким математиком Леопольдом Кронекером (1823-1891) и изложено им на лекциях в 1864 году. Что касается методов вычисления определителей, то один из них – метод треугольников – придумал страсбургский профессор Саррюс. Другой основан на свойстве определителя, подмеченном Якоби в 1841 году.

Матрицы возникли в середине XIX века одновременно в исследованиях нескольких ученых. Английский математик Артур Кэли (1821-1895) открыл, что систему чисел можно рассматривать как единый математический объект, над которым могут производиться алгебраические действия. Идеи матричного исчисления развивали с 1843 года Кэли, Сильвестр, Лагерр (именно в его статье "Об исчислении линейных систем" матрицы трактуются почти в современной форме), Фробениус (пришел к теории квадратных матриц). Все эти исследования в конце XIX века слились в единую теорию матриц, к изучению которой мы и приступаем.