2. Монотонные последовательности

Последовательность {а_n} называется убывающей, если каждый последующий член последовательности меньше или равен предыдущему, т.е. если ( ) для всех п N.

Так, в примере 8.1 последовательность убывающая, т.к.

> > > > … > > …

Последовательность {а_n} называется возрастающей, если каждый последующий член последовательности больше или равен предыдущему ( ).

Так, в примере 8.2 последовательность {3п-2} является возрастающей, т.к. каждый следующий член последовательности больше предыдущего:

1 < 4 < 7 < 10 < … < 3п-2< …

Убывающие и возрастающие последовательности называют монотонными.

Не всякая числовая последовательность является монотонной. Так, в примере 8.3 числовая последовательность { } не является монотонной.

3. Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность {а_n} называется ограниченной, если существуют числа М и m такие, что для любого номера n имеет место неравенство: m  a_n  M.

Геометрически ограниченность последовательности {а_n} означает существование отрезка [m; M], на котором помещены все члены этой последовательности. Одновременно заметим, что для неограниченной последовательности {а_n} такого отрезка [m; M], которому принадлежат все члены a_n, не существуют.

Так, последовательность из примера 8.1 ограничена, т.к. существует m=0 и М= , такие, что 0a_n . Геометрически все элементы последовательности принадлежат промежутку (0; ].

Последовательность { } из примера 8.3 также ограничена, m=-1, М=0,5.

Последовательность {3п-2} из примера 8.2 не ограничена, т.к. не существует числа М, которое бы ограничивало последовательность сверху.

4. Предел последовательности и его свойства

Число a называется пределом последовательности {а_n}, если для любого наперед заданного положительного числа  найдется такое натуральное число N, что для любого номера элемента n > N выполняется неравенство: |a_n – a| < .

В этом случае пишут .

Другими словами, какую бы точность  мы не задали, начиная с некоторого номера n>N все члены последовательности будут отличаться от значения предела а на число, меньшее , т.е. будут близки к числу а.

Геометрически определение предела последовательности можно представить следующим образом: при достаточно больших значениях п элементы последовательности практически не отличаются от числа а (рис. 8.4). Говорят, что такие элементы попадают в -окрестность числа а.

Так, в примере 8.1 с возрастанием номера п элементы последовательности все ближе и ближе приближаются к числу 0 (рис. 8.4). Покажем, что .

Выберем любую точность >0 (например, =0,001). Тогда найдется натуральное число N (в нашем случае N=9), такое что для всех n > N выполняется неравенство: <  (в нашем примере уже для п=10 будет меньше =0,001).

х

Рис. 8.4.

0 1

В примере 8.3 с возрастанием номера п элементы последовательности { } приближаются к числу 0, и аналогично можно показать, что .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Так, в примере 8.2 последовательность {3п-2} не имеет предела, т.к. ее элементы неограниченно возрастают, следовательно, эта последовательность является расходящейся.

Последовательности, рассмотренные в примерах 8.1 и 8.3 являются сходящимися.

Еще до нашей эры философом Зеноном Эллийским (490-430 г.до н.э.) были рассмотрены задачи, содержащие в себе противоречия. Их так и называют – апории Зенона. Рассмотрим одну из таких задач, которая носит название дихотомия.

Пусть пешеходу нужно пройти из пункта А в пункт В. Для этого он должен сначала преодолеть половину пути, потом половину оставшегося расстояния, затем следующую половину и т.д.

^{А В}

Следовательно, пешеход пройдет сначала пути, затем + пути, затем + + пути и т.д. Какой бы маленький участок пути ни оставалось преодолеть пешеходу, очевидно, что у любого, даже самого маленького отрезка, всегда можно найти половину. И путнику вновь останется преодолеть половину этого маленького отрезка. И так до бесконечности! Парадоксально, но факт, пешеходу все время придется делить оставшийся отрезок пополам, и он никогда не придет в пункт В.

Если составить алгоритм решения задачи в контексте данной логической схемы, то ни один компьютер не справится с ней – «зависнет», он будет продолжать находить середину отрезка до прерывания программы.

Посмотрим на эту задачу с точки зрения теории пределов. Расстояние, которое должен преодолеть пешеход, можно представить как сумму первых п элементов последовательности : + + +…+ =1- . Найдем предел этой последовательности: . Значит, с возрастанием п длина отрезка, которую остается преодолеть пешеходу, становится ничтожно мала, и пешеход все-таки придет в пункт В!

Для практического нахождения пределов числовых последовательностей используют следующие свойства пределов:

Пусть {а_n} и {b_n} – сходящиеся последовательности, т.е. , . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Для любого числа k последовательность {kа_n} также сходится, причем = .

3. Сумма (разность) а_n± b_n также сходится, причем

= .

4. Произведение а_n b_n также сходится, причем

= .

5. При дополнительном условии b≠0 частное также сходится, причем .

Пример 8.4. Найдите предел .

Решение. Числитель и знаменатель представляют собой расходящиеся последовательности (так как они не ограничены), поэтому непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя. В этом случае поступим так: числитель и знаменатель разделим на п (от этого дробь не изменится), а затем применим доказательные теоремы о пределах последовательностей. Приведем подробную запись вычисления предела:

.

Ответ: = .