Глава 3.1. Теория пределов
Понятие предела – одно из основных понятий математического анализа, на котором базируются многие важные определения, в частности, определение производной. Истоки понятия предела следует искать в Древней Греции. Некоторым подобием предельного перехода был метод исчерпывания, изобретенный Евдоксом (ок. 408–355 до н.э.). В работах Архимеда (ок. 287–212 до н.э.) и Евклида (конец IV-III век до н.э.) этот метод дал поразительные результаты. В новое время идеи предела появляются у немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (1571–1630), итальянского математика Бонавентура Кавальери (1598-1647), английского математика Джона Валлиса (1616-1703).
Слово "лимит" (предел) произошло от латинского limes (limite) – "межа", "граница". Этим словом впервые воспользовался Исаак Ньютон. Однако исторически сложилось так, что точное определение такого ключевого понятия, как предел, и такого важного понятия, как непрерывность, вплоть до конца XVIII века отсутствовали. Соответственно, и многие математические рассуждения содержали пробелы, а иногда были даже ошибочны. Характерный пример – определение непрерывности. Эйлер, Лагранж и даже Фурье (а он работал уже в начале XIX века) называли непрерывной функцию, заданную на области определения одним аналитическим выражением.
Тем самым бурно развивающаяся "новая" математика XVII-XVIII века не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых еще со времен древних греков. Интуиция, столь необходимая математикам, существенно опередила логику. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, помогала им избегать ошибок. Но необходимы были прочные логические основы.
Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы XIX века французским математиком Огюстеном Коши (1789–1857), предложившим точное определение пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа, в частности теоремы о пределах. Несколько раньше (в 1821 году) определение предела, непрерывности и ряд других замечательных результатов получил чешский математик Бернард Больцано (1781-1848), но его работы стали известны много позднее. После лекций известного немецкого профессора Карла Вейерштрасса (1815-1897), которому принадлежит современное обозначение предела, определение предела по-Коши (на языке ε-δ) прочно вошло в обиход и используется нами по сей день.
Лекция 8. Числовые последовательности
План:
Понятие числовой последовательности
Монотонные последовательности
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Предел последовательности. Свойства предела.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Признак сходимости монотонной последовательности. Число е.
Понятие числовой последовательности
Известные из школьного курса математики арифметическая и геометрическая прогрессии представляют собой примеры числовых последовательностей. Так, арифметическая прогрессия с первым членом а1=1 и разностью d=2 есть бесконечная числовая последовательность вида: 1; 3; 5; …; 1+2(n-1); …
Геометрическая
прогрессия, первый член которой а1=1
и знаменатель q=
т.е. прогрессия вида
- также бесконечная числовая
последовательность.
Задать числовую последовательность – значит задать правило, по которому каждому натуральному числу (номеру) соответствует одно и только одно действительное число аn (значение члена последовательности с номером n).
Бесконечной
числовой последовательностью
называется функция
,
заданная на множестве натуральных чисел
(п
N).
Число а1 называется первым членом последовательности, а2 – вторым, ..., аn – n-ым (общим). Индекс 1, 2, 3,…, n – номер элемента последовательности. Для обозначения числовой последовательности принята следующая запись: {аn}.
Чаще всего
последовательность задается с помощью
формулы для нахождения аn,
например, аn
=
.
Пример 8.1. Выпишите элементы последовательности аn = .
Решение: Пусть
n=1, тогда а1
=
=
.
Подставляя вместо n значения 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. получим остальные элементы последовательности, образующие бесконечное числовое множество:
{
;
;
;
;
;
…}
Пример 8.2.
Выпишите элементы последовательности
3п-2.
Решение: Подставляя вместо n значения 1, 2, 3 и т.д., найдем следующие элементы последовательности: {1; 4; 7; 10; 13; 16…}.
Пример 8.3.
Выпишите элементы последовательности
.
Решение: Выбирая
в качестве n значения
1, 2, 3 и т.д., получим следующие элементы
последовательности: {-1;
;
;
;
;
…}.
Введенное понятие числовой последовательности имеет простую геометрическую интерпретацию. Отмечая на числовой оси значения а1; а2; а3;...аn…, получим множество точек, соответствующих данной последовательности.
В примере 8.1
последовательности
соответствует следующее геометрическое
изображение (рис. 8.1):
х
Рис. 8.1.
В примере 8.2 последовательности {3п-2} соответствует изображение на рис. 8.2:
Рис. 8.2.
7
100
130
В примере 8.3 элементы последовательности { } можно представить следующим образом (рис. 8.3):
0
-1
Рис. 8.3.