Раздел 3. Основы математического анализа

Математическим анализом называют систему дисциплин, объединенных следующими характерными чертами. Предметом их изучения являются количественные соотношения окружающего мира (в отличие от геометрических дисциплин, занимающихся его пространственными свойствами). Эти соотношения выражаются при помощи чисел, как и в алгебре. Но в алгебре рассматриваются преимущественно постоянные величины (преобразование выражений, уравнения - они характеризуют состояние), а в математическом анализе – переменные величины, характеризующие процессы. В основе изучения зависимости между переменными величинами лежит понятие функции.

Зачатки методов математического анализа можно встретить еще у древнегреческих математиков. Так, Архимед (287–212 гг. до н.э.) при вычислении площадей некоторых фигур и при определении объема шара по существу использовал интегральное исчисление, хотя, естественно, не знал его общих методов. Систематическое развитие эти методы получили в XVII веке. Одним из основателей математического анализа стал английский ученый Исаак Ньютон (1643–1727). Исследования в области механики привели его к проблемам дифференциального и интегрального исчисления. Одновременно с Ньютоном проблемами анализа занимался и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716). Оба этих великих ученых не только завершили создание дифференциального и интегрального исчисления (получившего название анализа бесконечно малых величин), но и заложили основы учения о рядах и дифференциальных уравнениях.

Грандиозные успехи естествознания и математики в последующие три столетия во многом были предопределены великим открытиям Ньютона и Лейбница. В XVIII веке большой вклад в развитие математического анализа внес швейцарский математик Леонард Эйлер (1707–1783), свыше 30 лет проработавший в России. Систематизацией уже имеющихся результатов, а также дальнейшим развитием теории занимались многие французские математики: Жан Даламбер (1717–1783), Жозеф Лагранж (1736–1818), Пьер Лаплас(1749–1827), А.Лежандр (1752–1833), Ж.Фурье (1768–1830). К концу XVIII века был накоплен огромный фактический материал, но он был недостаточно разработан в логическом отношении. Многие понятия ученые воспринимали интуитивно.

Очевидные противоречия привели к критическому пересмотру в XIX веке существующих методов и четкому логическому построению математического анализа. Только в XIX веке были даны строгие определения функции, непрерывности, были уточнены понятия предельного перехода и основанные на нем понятия производной и интеграла. Современное понятие функции сформировалось в первой половине XIX века благодаря исследованиям таких выдающихся математиков, как Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), Петер Дирихле (1805–1859) и др. Производная была определена как предел отношения приращения функции к приращению аргумента (французский математик Огюстен Коши (1780–1856)), интеграл – как предельное значение интегральных сумм (немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866)). До сих пор математическое образование основывается на этих подходах, хотя в ХХ веке они получили значительное развитие. Тогда же вошли в употребление термины математика "элементарная" (математика, предшествовавшая рождению математического анализа) и "высшая" (начинается с понятий производной, предела и интеграла).

Одним из важнейших завоеваний математического анализа в XIX веке стало рождение теории аналитических функций и функций комплексного переменного. Следует упомянуть немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855), ставшего основателем теории функций комплексного переменного и определившего понятие предела, русских математиков Пафнутия Львовича Чебышева (1821–1866), создателя конструктивной теории функций, Софью Васильевну Ковалевскую (1850–1891), немецкого математика Давида Гильберта (1862–1943). Важнейшие труды, касающиеся стройного логического построения математического анализа, принадлежат немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815–1897), Юлиусу Дедекинду (1831–1916) и Георгу Кантору (1845–1918).

В ХХ веке, уже на новом уровне, происходит всё большее слияние геометрии и математического анализа. Областью приложения анализа становятся кривые и поверхности, расположенные в многомерных пространствах с дополнительной алгебраической структурой. Исследования в области математического анализа продолжаются и в наши дни.