Эллипс и его уравнение
Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). Обозначим эту постоянную величину 2а. Тогда если точки М1 и М2 принадлежат эллипсу, а F1 и F2 – фокусы эллипса, то по определению справедливо равенство:
.
Каноническое
уравнение эллипса имеет вид:
.
Для построения эллипса нужно из канонического уравнения выделить два параметра: a, b (а – большая полуось, b - малая полуось)
Н
а
оси Оx отметим
точки А1(-a;
0) и А2(a; 0),
на оси Оy – точки
В1(0; b) и В2(0;
-b). Тогда эллипс будет
проходить через точки А1, А2,
В1, В2 следующим
образом (рис. 7.2):
Рис.
7.2
Точки А1, А2, В1, В2 называются вершинами эллипса.
Пример 7.3. Постройте эллипс, заданный уравнением 6x2 + y2 = 32.
Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду ( ), для этого разделим все его члены на 32, чтобы в правой части была 1:
.
При сравнении с
каноническим видом отмечаем, что a2
= 16, b2 = 32, откуда
a = 4, b
=
.
Эллипс будет иметь вид (рис. 7.3):
4
-4
0
x
y
Рис.
7.3
4. Гипербола и ее уравнение
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).
Фокусы гиперболы принято обозначать буквами F1 и F2.
Тогда по определению
если точки М1 и М2
принадлежат эллипсу, то справедливо
равенство:
.
Каноническое
уравнение гиперболы имеет вид:
.
Для построения гиперболы, как и эллипса, выделяем из уравнения параметры a и b (а – действительная полуось, b - мнимая полуось).
На осях координат отмечаем точки А1(-a; 0), А2(a; 0), В1(0; b), В2(0; -b). Строим прямоугольник так, как показано на рисунке 7.4.
Д
y
l1
l2
М2
B1(0;
b)
М1
x
F1
F2
0
A1(-a;
0)
A2(a;
0)
B2(0;
-b)
Рис.
7.4
Пример 7.4. Постройте гиперболу, заданную уравнением 16x2 – 25y2 = 400.
Решение. Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого разделим все его члены на 400:
.
Из этого уравнения можем записать a2 = 25, b2 = 16, т.е. a = 5, b = 4.
В
y
4
x
5
-5
0
-4
Рис.
7.5
5. Парабола и её уравнение
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (называется фокусом) и данной прямой (называется директрисой).
Фокус параболы принято обозначать буквой F, директрису – буквой d, расстояние от фокуса до директрисы – буквой p (p>0). Рассмотрим основные случаи расположения параболы относительно осей координат.
Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид: y2 = 2px или y2 = -2px.
Эти два случая представлены в таблице 7.1.
Таблица 7.1.
Свойства и графики парабол вида y2=2px и y2= –2px
Чертеж |
|
|
Положение фокуса
Координаты фокуса
Уравнение директрисы
Уравнение параболы |
На положительной полуоси Ox
y2=2px |
На положительной полуоси Ox
y2=–2px |
Каноническое уравнение параболы, фокус который расположен на оси ординат, имеет вид: x2 = 2py или x2 = –2py.
Эти два случая представлены в таблице 7.2.
Таблица 7.2.
Свойства и графики парабол вида х2=2pу и х2= –2pу
Ч
M(x;
y) |
МN=MF
y
F
x
p
O
N
d
|
МN=MF
F
N
d
p
O
M(x;
y)
x
y |
Положение фокуса
Координаты фокуса
Уравнение директрисы
Уравнение параболы |
На положительной полуоси Oy
x2=2pу |
На положительной полуоси Oy
x2=–2pу |
Пример 7.5. Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением y2=8x.
Решение. Из канонического уравнения параболы y2=2px следует, что 2p=8, т.е. p=4, откуда p/2=2. Значит, точка F(2; 0) – фокус параболы, а x=2 – уравнение ее директрисы.
Контрольные вопросы:
Что называется кривой второго порядка?
Дайте определение окружности. Каким уравнением она задается?
Дайте определение эллипса. Каково каноническое уравнение эллипса?
Какая линия называется гиперболой? Каким каноническим уравнением она задается?
Что называют фокусом и директрисой параболы? Какие случаи расположения параболы в зависимости от ее канонического уравнения существуют?