4. Угол между двумя прямыми.

Углом между двумя прямыми называется величина меньшего из углов, образованного этими прямыми.

Н а рис. 6.6 углом между прямыми l₁ и l₂ является угол φ. Выведем формулу для его нахождения.

Если прямая l₁ задана уравнением A₁x + B₁y + C₁ = 0,

то ее нормальный вектор .

Если прямая l₂ задана уравнением A₂x + B₂y + C₂ = 0,

т

Рис. 6.6

о ее нормальный вектор .

Угол между векторами можно найти по формуле:

, где – нормальные векторы

прямых l₁ и l₂.

Эта формула удобна для вычисления угла между прямыми, заданными их уравнениями.

Пример 6.7. Найдите угол между прямыми x + 5y – 3 = 0 и 2x – 3y + 1 = 0.

Решение. Найдем координаты нормальных векторов заданных прямых: . Согласно формуле получим

Ответ:

5. Расстояние от точки до прямой.

Р асстоянием от точки М₁ до прямой l называется длина перпендикуляра М₁Н, опущенного из точки к прямой (рис. 6.7).

Н

Рис. 6.7

Если точка M₁ имеет координаты (x₁; y₁), а прямая l задана общим уравнением Ax+By+C=0, то для нахождения расстояния от точки М₁ до прямой l будем использовать формулу: М₁Н = .

Пример 6.8. Найдите расстояние от точки М₁(1; -1) до прямой l: 3x – 4y + 5 = 0.

Решение. Воспользуемся формулой где x₁ = 1, y₁ = -1; A=3, B=-4, C=5.

Ответ: М₁Н = 2,4.

Контрольные вопросы.

1. Что называют уравнением линии на плоскости?

2. Какие способы задания прямой существуют?

3. Что называют угловым коэффициентом прямой?

4. Чем отличаются канонический и параметрический виды уравнений прямой?

5. Что называют углом между двумя прямыми? Как найти угол между двумя прямыми?

6. Приведите формулу для нахождения расстояния от точки до прямой.

Лекция 7. Кривые второго порядка.

План:

1. Понятие кривой второго порядка.

2. Окружность и ее уравнение.

3. Эллипс и его уравнение.

4. Гипербола и ее уравнение.

5. Парабола и ее уравнение.

1. Понятие кривой второго порядка

Кривая второго порядка – линия на плоскости, задаваемая уравнением: Ах²+2Вху+Су²+2Dx+2Ey+F=0, где коэффициенты А, В, С, D, E, F – любые действительные числа при условии, что А, В, С одновременно не равны нулю.

Выделяют следующие кривые второго порядка:

• окружность;

• эллипс;

• гипербола;

• парабола.

2. Окружность и ее уравнение

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

Пусть центром окружности является точка О(a;b), а расстояние до любой точки М(x;y) окружности равно R (рис. 7.1). Составим уравнение окружности.

Р асстояние от точки М до центра окружности можно найти, пользуясь формулой расстояния между точками:

.

Подставив в это выражение координаты точек М и О, получим:

Рис. 7.1

.

Поскольку расстояние ОМ равно радиусу R, следовательно, .

Возведём обе части уравнения в квадрат: .

Это уравнение называется каноническим уравнением окружности с центром О(a;b) и радиусом R.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности имеет вид: x² + y² = R².

Пример 7.1. Составьте уравнение окружности с центром О(3; -2) и радиусом r = 5.

Решение. Подставив a = 3, b = -2 и r = 5 в каноническое уравнение окружности , получим: .

Пример 7.2. Докажите, что линия, заданная уравнением х²+у²+6х-4у-3=0, является окружностью, найти координаты ее центра и радиуса.

Решение. Попытаемся привести уравнение линии к виду: . Для этого выделим в уравнении полные квадраты. Имеем (х²+6х)+(у²-4у)-3=0.

Для получения полного квадрата к первой скобке добавим 9, ко второй 4, и вычтем числа 9 и 4 соответственно: (х²+6х+9)-9+(у²-4у+4)-4-3=0.

Получим, что (х+3)²+(у-2)²-16=0 или (х+3)²+(у-2)²=16 – уравнение окружности с центром О(-3;2) и радиусом 4.

Ответ: О(-3;2), R=4.