2.3. Задание прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором.

Нормальным вектором прямой l называется любой ненулевой вектор перпендикулярный этой прямой.

Пусть заданы точка и нормальный вектор (рис.6.3).

Д ля составления уравнения прямой, проходящей через точку М₀ и имеющей нормальный вектор

1. Выберем на прямой l произвольную точку .

2. Найдем координаты вектора

3. Запишем координаты заданного нормального

в

Рис. 6.3

ектора

4. Воспользуемся условием перпендикулярности векторов и их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Так как скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат, то уравнение прямой l примет вид:

А(х-х₀) + В(у-у₀) = 0 (3) – уравнение прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором .

Пример 6.4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -3) перпендикулярно вектору = (-4; 5).

Решение: Вектор будет являться нормальным вектором данной прямой. Подставим в формулу (3) координаты точки А и вектора , получим искомое уравнение прямой:

-4(х – 2) + 5(у + 3) = 0;

-4х + 8 + 5у + 15 = 0.

Ответ: l: -4х + 5у + 23 = 0.

2.4. Задание прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом.

Пусть заданы точка и нормальный вектор . Тогда уравнение прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором будет иметь вид:

А(х-х₀) + В(у-у₀) = 0.

Разделим каждое слагаемое на В 0.

Рис. 6.4

, где k – угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона α, образованной прямой с положительным направлением оси ОХ (рис. 6.4):

k = tg .

Тогда (4) - уравнение прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом k.

Пример 6.5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M₀(-3; 2) и образующей с положительным направлением оси ОХ угол

Решение: Найдём угловой коэффициент прямой: k = tg .

k = tg ; k = 1.

Подставим k и координаты точки M₀ в уравнение (4):

Ответ:

3. Виды уравнения прямой.

3.1. Общее уравнение прямой.

Справедливо следующее утверждение: всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными x и y и обратно, всякое уравнение вида Аx + By + C = 0 при любых действительных значениях коэффициентов А, В, С, кроме случая одновременного равенства нулю коэффициентов А и В, определяет прямую.

Уравнение Аx + By + C = 0 называется общим уравнением прямой. Коэффициенты А, В, С принято записывать в виде целых чисел.

3.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

- уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

3.3. Каноническое уравнение прямой. Уравнение вида , где - координаты точки, принадлежащей прямой, - координаты направляющего вектора, называется каноническим уравнением прямой.

3.4. Параметрическое уравнение прямой.

Обозначим буквой t каждое из равных отношений канонического уравнения прямой. Получим, что

= t

= t

где t – параметр, который может принимать любые числовые значения.

Такую систему уравнений называют параметрическим уравнением прямой.

Пример 6.6. Запишите уравнение прямой

1. в параметрическом виде;

2. в общем виде;

3. с угловым коэффициентом;

4. построить данную прямую.

Решение:

1. Если задано каноническое уравнение прямой, то из формулы можно выделить координаты направляющего вектора (4; -1) и точки, лежащей на прямой (1; -3).

Пользуясь этими данными, составим параметрическое уравнение прямой:

2. Для составления общего уравнения прямой, воспользуемся свойством пропорции:

4(у+3) = -1(х-1)

4у+12 = -х+1

х+4у+11 = 0 – общее уравнение прямой.

2. Для составления уравнения данной прямой с угловым коэффициентом, из общего уравнения прямой выразим у:

4у = -х – 11;

у = - уравнение прямой с угловым коэффициентом k = .

2. Строить прямую удобнее всего, пользуясь её параметрическим заданием. Пусть t = 0 точка (1; -3) принадлежит прямой;

Пусть t = -1 Точка (-3; -2) также лежит на прямой.

Построим прямую, проходящую через две полученные точки (рис.6.5):

					у
	-3		-1
				0	1 -1	х
				-3		l х+4у-11=0
Рис. 6.5