Лекция 6. Прямая на плоскости

План:

1. Уравнение линии на плоскости.

2. Способы задания прямой.

   0. Задание прямой с помощью точки и направляющего вектора.

   1. Задание прямой через две точки.

   2. Задание прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором.

   3. Задание прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом.

3. Виды уравнений прямой.

   0. Общее уравнение прямой.

   1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

   2. Каноническое уравнение прямой.

   3. Параметрическое уравнение прямой.

4. Угол между двумя прямыми.

5. Расстояние от точки до прямой.

1. Уравнение линии

Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Пример 6.1. Определите, лежат ли точки А(2; 5) и В(1; 2,2) на линии, заданной уравнением 3x – 5y + 8 = 0.

Решение. Подставим в уравнение линии координаты точки А, получим:

3·2 – 5·5 + 8  0, 6 – 25 + 8  0.

Следовательно, точка А не принадлежит заданной линии.

Подставим в уравнение линии координаты точки В: 3·1 – 5·2,2 + 8 = 0; 11 – 11 = 0. Следовательно, точка В лежит на заданной линии.

2. Способы задания прямой

Прямые – самые простые линии на плоскости. Им соответствуют и самые простые уравнения – уравнения первой степени.

Прямую на плоскости можно задать несколькими способами:

2.1. Задание прямой с помощью точки и направляющего вектора.

Направляющим вектором прямой l называется всякий ненулевой вектор параллельный этой прямой.

Любая прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, коллинеарных между собой.

П усть задана точка , через которую проходит прямая l, и её направляющий вектор (рис. 6.1).

1. Выберем произвольную .

2. Найдем координаты вектора = (х-х₀; у-у₀).

3. Запишем направляющий вектор

4. Воспользуемся условием коллинеарности

векторов и ; их одноименные координаты Рис. 6.1

должны быть пропорциональны. Поэтому уравнение прямой имеет вид:

(1) - уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором

Пример 6.2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(3;-2) и имеющей направляющий вектор

Решение: Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

2.2. Задание прямой через две точки.

Пусть заданы две точки и . Через них можно провести прямую, и притом только одну. Составим уравнение прямой, проходящей через точки и .

Д ля этого (рис. 6.2):

1. Выберем на прямой l точку .

2. Найдем координаты вектора :

Рис. 6.2

= (х - х₁; у - у₁).

3. Найдем координаты направляющего вектора

4. Векторы и коллинеарны, так как лежат на одной прямой; следовательно, их координаты пропорциональны.

Искомое уравнение прямой имеет вид: (2) - уравнение прямой, проходящей через точки и .

Пример 6.3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А(2; 3) и В(7; 5).

Решение: Подставив в формулу (2) координаты данных точек, получим искомое уравнение прямой: .

Ответ: l: .