Лекция 5. Векторы. Операции над векторами. Координаты вектора

План:

1. Понятие вектора. Виды векторов.

2. Операции над векторами как над направленными отрезками.

3. Скалярное произведение векторов.

4. Координаты вектора на плоскости и в пространстве.

5. Операции над векторами в координатах.

1. Понятие вектора. Виды векторов.

Величины, которые полностью определяются своими численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь (S), длина (l), объем (V), температура (t), работа (A), масса (m).

Другие величины, например, сила (F), скорость (v), ускорение (a), определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Если А – начало вектора, а В – его конец, то вектор обозначается символом или .

Вектор (имеет начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается - (рис. 5.1).

Рис. 5.1.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ и обозначается | |.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор не имеет направления.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают || (рис. 5.2).

Рис. 5.2.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково (рис. 5.3.) или противоположно (рис. 5.2.) направлены.

Рис. 5.3

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и называются равными ( = ), если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Все равные между собой направленные отрезки называют свободным вектором. Свободный вектор может быть отложен от любой точки пространства. В дальнейшем мы будем оперировать понятием свободного вектора.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях (рис. 5.4.).

Рис. 5.4.

2. Операции над векторами.

Под операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

1). Сложение векторов

Пусть и - два произвольных вектора.

Сумму векторов можно найти по следующим правилам:

• Правило треугольника

Выберем произвольную точку О и построим вектор От точки А отложим вектор Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : = + (рис. 5.5).

А

О

+ В

Рис. 5.5.

• Правило параллелограмма

Выберем произвольную точку О и отложим от нее векторы и Достроим фигуру до параллелограмма. Тогда вектор , исходящий из вершины О в противоположную вершину D, является суммой векторов и : = + (рис. 5.6.).

О

D

Рис. 5.6.

• Правило многоугольника:

Для нахождения суммы трех и более векторов используют правило многоугольника. Выберем произвольную точку О и построим вектор От конца первого вектора откладываем второй вектор, от конца второго – третий и т.д. Суммой нескольких векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего. Например, на рисунке 5.7. построена сумма трех векторов:

О

Рис. 5.7.