Параграф 2. О делимости многочленов
Пусть даны 2 полинома f и g, degf>=degg
Полином f делится нацело на полином g, если существует такой полином h, что выполняется равенство f=g*h.
Замечание: Причем полином h, в силу теоремы о делении с остатком, является единственным.
Полином g Называется делителем полинома f. При использовании теоремы о делении с остатком возможна ситуация, когда коэффициенты полинома f рациональны или действительны, то может оказаться, что коэффициенты полинома h не будут таковыми. Они будут комплексными, то есть все равно их можно будет считать рациональными или действительными.
Приведем ряд основных свойств делимости полиномов:
Свойство транзитивности деления:
Если полином f Делится на полином g, а полином g Делится на полином h, то f Делится на h
Если полиномы f и g делятся на полином h , то их сумма(разность) так же делится на h .
Если полином f делится на полином g , то и произведение полинома f на любой другой также будет делиться на полином g.
Обобщение свойств 2 и 3
Если каждый полином из конечного набора полиномов делится на полином g то и линейная комбинация (сумма произведений) полиномов из набора с другими так же будет делиться на полином g .
Любой произвольны полином всегда делится на полином нулевой степени (на число)
Если полином f делится на полином g. То так же он делится и на полином c*g (с – скаляр)
Все делители полинома f так же будут делителями полинома c*f.
Полиномы f и g делятся друг на друга, если имеют пропорциональность на число между многочленами.
Примечание: в свойствах речь идет о ненулевых делителях.
Путь даны 2 полинома f и g . Полином h называется общим делителем полиномов f и g , если он делит полиномы f и g и делит любой другой делитель полиномов f и G. Если найдутся такие, которые не делят полином h на цело, то тогда среди них можно найти общий делитель полиномов f и g.
Полином h называется НОД, если он будет делиться на любой другой делитель полиномов f и g (имеет наибольшую степень)
H=НОД(f,g)
Для нахождения НОДа двух полиномов используют алгоритм Евклида.
Алгоритм Евклида:
…………………….
n)
n+1)
Алгоритм прерывается. Тот остаток r(n), который нацело делит предыдущий остаток r(n-1) будет НОДом f и g
Теорема о представлении НОДа:
Если многочлен a (альфа) является НОДом f и g, то имеет место равенство
,
где полиномы
определяются однозначно.
Если многочлены f и g являются взаимно простыми, то имеет место равенство :
,
где полиномы
определяются однозначно.
Два полинома f и g называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен произвольному полиному нулевой степени. Согласно свойствам делимости, этот полином можно считать равным единице.
Доказательство на частном случае двух полиномов третей и второй степени, используя обратный ход алгоритма Евклида. (сами)
Набросок доказательства к теореме о представлении НОД:
Рассмотрим k-1 шаг в алгоритме Евклида:
Так как
(При условии что последний шаг дает
деление на ноль ) перепишем равенство
(1) в виде:
В равенстве (2) получим:
,
тогда
Из шага к-3 выразим r(k-1) через r(k-2) и r(k-3)
Подставляем в равенство (3):
В (4) введем переобозначение:
И получим:
Далее действуем аналогично, выражая из предыдущего шага, приводя подобные и вводя переобозначения. Так до первого шага, где в итоге получаем требуемую формулу:
Теорема о простейших свойствах взаимно простых полиномов:
Если многочлен F является взаимно простым с многочленом g и h, то он так же будет взаимно простым с g*h
Если произведение g*h делится на многочлен f, причем f и g являются взаимно простыми, то тогда многочлен h делится на многочлен f.
Если многочлен f Делится на многочлены g и h, которые между собой взаимно простые, то он делится и на произведение g *h
Теорема о НОДе конечной системы полиномов:
Пусть дана конечная система полиномов f0,f1,..,fk+1 , тогда НОД этой системы равен наибольшему общему делителю многочлена fk+1 и НОДа многочленов f0,f1,…,fk.
Доказательство: Самостоятельно.