1.2. Возникновение первых математических понятий

Земледелие и скотоводство восточных славян стимулировали возникновение и расширение первоначальных математических познаний. Эволюция приёмов счёта и измерений у всех народов примерно одинакова, но процесс становления и степень развития их от особенностей развития. Характерно то, что в эпоху, предшествующую раннему образованию государственности, у различных племён вырабатывались совершенно аналогичные вычислительные приёмы и метрологические правила, основанные на антропологическом принципе. Параллельно с развитием счета и меры возникали и первые геометрические представления. При этом первым приёмом счёта была конкретизация его на пальцах, а первые попытки измерения длины и расстояния осуществлялась при помощи размеров и движений частей человеческого тела (пядь, шаг, локоть и т.д.).

Развитие понятия число – процесс длительный и многоплановый. Сначала наши предки использовали так называемый «малый счёт» (один, два, много), положивший начало древнейшей из систем счисления – двоичной. Она сначала существовала у всех племён, а позднее выработались и другие системы – пятеричная, двадцатеричная, десятичная… Остатки двадцатеричной системы обнаружены, например, у чукчей («богатый оленями»): «В каждом стаде оленей двадцать по двадцать, ещё раз и ещё раз двадцать по двадцать – тысяча двести голов – вот сколько оленей».

Чукчи очень любили торговаться или «меняться», однако не знали не только денег, но вели счёт исключительно по пальцам рук и ног. Считать по-чукотски — значит «пальчить». Большие числа чукчи считали пятёрками и двадцатками. При этом существовал предел счёта, максимальное число — «двадцать двадцаток». Все числа, которые были выше этого значения, назывались «пределом знания».

Следы того, что человек начал постепенно считать до 6 и до 7, а число 7 служило у наших предков для выражения неопределённой множественности, сохранились в русском языке в виде пословиц и поговорок: «Семеро одного не ждут», «Семь раз отмерь, а один – отрежь», «За семью печатями», «У семи нянек дитя без глазу», «За одного грамотного семь неграмотных дают». Затем в качестве «много» употреблялось число 12, а следующее за ним число 13 оказалось, таким образом, оказалось лишним, «нечестивым» и «несчастливым».

В тюркских легендах синоним неопределённой множественности являлось сначала число 40, а затем «сорок сороков», которое нередко потом употреблялось и у восточных славянских племён (пять сороков соболей – размер подати). (сорок – мешок, но есть др. мнения).

Замечание. Не нужно думать, что тюрки – выходцы из Туркмении и т.д. На самом деле протюркские племена появились в результате синтеза двух групп населения:

• сформировавшегося западнее Волги в III-II тыс. до н. э. (в ходе многовековых миграций стало населением Поволжья и Казахстана, Алтая и долины Верхнего Енисея);

• появившегося в степях, восточнее Енисея позднее, имевшего азиатское происхождение.

Кроме того, следы древних приёмов счёта – слова для счёта групп (пара, тройка, четвёрка, пяток, десяток, а позже – дюжина), и для дробного счёта (половина, четверть, полдюжины и др.).

Л.Н. Грацианская (историк математики, г. Киев) выделила 3 стадии формирования числа у древних праславян:

• умение считать,

• умение называть числа,

• умение фиксировать результаты счёта.

Возникший первым словесный счёт, как непосредственно вытекающий из потребностей практики, развивался под влиянием счёта на пальцах. На пальцах же осуществлялись и арифметические действия. Последующее развитие пальцевого счёта привело к интересным и остроумным построениям и оригинальным вычислениям до миллиона.

Примеры. 1) Умножение до 5. Пусть нужно 7 × 5. На одной руке загибаем столько пальцев, на сколько 7 больше 5, на другой – на сколько 9 больше 5. Число загнутых пальцев 2+4=6 – это число десятков, а произведение не загнутых пальцев 3×1=3 – число единиц, т.е. 7×9=63.

2) Умножение до 15× 15. Пусть нужно найти 12 × 14. Загибаем на одной руке избыток над 10 первого множителя, а на другой – второго. Т.е. зажато 2 и 4 пальца. Сумма 2+4=6 – число десятков, произведение тех же чисел 2×4=8 – число единиц. Прибавляем к полученному числу 68 ещё 100, получим (2+4)×10+8+100=168.

Сначала счёт был, как правило, предметным (с использованием предметов - палочек, камушков, пальцев и пр.). Это уже было некоторое абстрагирование от предметов, подлежащих счёту, но всё равно такое изображение чисел было не совсем удобно. В результате появились новые способы фиксации итога счёта:

1) «узловой счёт» (квипус – Перу, Гватемала, Мексика, Китай, Япония; вампум – индейцы, и, что удивительно, - остяки – племена финно-угорские, теснимые соседями, перекочевавшие в район Оби и Иртыша);

2) «четник» - нанизанные на шнурок или палочку косточки, кусочки дерева, раковины;

3) «бирки» - фиксация чисел путём нанесения зарубок на палочке или кости.

Четки буддистов и христиан, греческие, китайские и русские счеты, наш обычай завязывать на память узелок - все это образцы и пережитки той же мнемонической пиктографии, к области которой относятся бирки, палки вестников у австралийцев и т. п.

В квипусе один простой узел – 10, два простых узла – 20, узел, завязанный дважды – 100, трижды – 1000 и т.д. В вампумах для записи числа был важен цвет и порядок. Бирки (черты, меты) были широко распространены у наших предков (Сибирь, Прибалтика, Русь). Древнейший пример пользования бирками приходится на эпоху палеолита. Это обнаруженная в 1937 г. в Вестонице (Моравия) лучевая кость молодого волка длиной около 17 сантиметров с 55 глубокими зарубками. Первые двадцать пять зарубок размещены группами по пять, за ними идет зарубка двойной длины, заканчивающая этот ряд, а затем с новой зарубкой двойной длины начинается новый ряд из зарубок.