3.3. Моделирование распределения температуры

§3.3.1. Задача теплопроводности Постановка задачи

Теплопроводностью называется процесс распространения тепла в сплошной среде: твердом теле, жидкости или газе. Решать задачи, связанные с теплопроводностью, часто приходится инженерам, ученым, конструкторам. Эта задача заключается в следующем: рассматривается некоторая ограниченная область, содержащая теплопроводный материал. Имеются источники тепла на границе или внутри области. На границах области поддерживается определенный тепловой режим. Требуется рассчитать распределение температуры внутри этой области.

Задача теплопроводности имеет массу практических приложений в производстве и в быту. Например, расчет распределения температуры воздуха в жилом помещении, или внутри турбины самолета во время полета, или в кристалле микропроцессора при работе компьютера и т.д.. В полной постановке для объемных областей такая задача достаточно сложная. Здесь мы рассмотрим ее простой вариант, построим компьютерную модель и проведем численные эксперименты.

Р ассмотрим теплопроводный (например, металлический) стержень с прямоугольной формой поперечного сечения (рис.3.18). Такой стержень может быть строительной балкой или элементом какой-то другой сложной конструкции. Поверхность тела контактирует с внешней средой, которая имеет определенную температуру. Поверхность может контактировать с другими телами (например, нагревателями) и вступать с ними в теплообмен. Возможно также использование теплоизоляционных материалов, защищающих либо всю поверхность, либо ее части от теплообмена с внешней средой. Требуется выполнить расчет распределения температуры внутри стержня при данных значениях его геометрических и физических параметров, а также при заданных тепловых условиях на поверхности.

О си координат расположим так, как показано на рис.3.18. Ось Z проходит по вертикальному ребру стержня. Сделаем упрощающее задачу предположение: размер стержня вдоль оси Z много больше его поперечных размеров. Внешние условия и физические (тепловые) свойства материала не меняются в направлении оси Z. В таком приближении можно перейти к решению задачи в двумерной области: в плоскости поперечного сечения стержня, расположенного вдали от его концов. Будем искать распределение температуры, зависящее только от координат X,Y. Область решения задачи представляет собой прямоугольник размером a×b (рис.3.19)

Поперечное сечение стержня имеет четыре прямолинейных граничных участка, которые будем нумеровать так, как показано на рисунке римскими цифрами. Будем называть их: 1-я граница, 2-я граница и т.д. На границах поддерживаются определенные тепловые режимы, которые называются граничными условиями для температуры.

Рис.3.19. Поперечное сечение стержня

От граничных условий зависит распределение температуры внутри стержня, которое требуется узнать. Это распределение будем представлять функцией зависимости значения температуры Т от двух переменных – координат x и y: T(x,y) для 0≤ x ≤a, 0≤ y ≤b.