Завдання к-2. Кінематика простих рухів тіл

Умова завдання. Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.0 – К2.9, табл.К2). Колеса пов'язані між собою зубчастою або пасовою передачею; рейка знаходиться у зубчастім зачепленні з одним із коліс; а вантаж прикріплений до нитки, яка намотана на колесо. При русі механізму відносне ковзання його елементів не відбувається, а пас і нитка вважаються нерозтяжними.

Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і ; у колеса 2 - і ; у колеса 3 - і . На ободах коліс розташовані точки і .

У стовпці «Дано» табл.К2 зазначений закон руху ведучої ланки механізму. Додатний напрямок для кута - проти руху годинникової стрілки; для відстані - униз ; - виражено в рад, - у см, час - у сек.

Визначити. В момент часу визначити указані в стовпцях «Знайти» швидкості та прискорення відповідних тіл і точок тіл. Знайдені величини показати на рисунку.

Табл.К2

Номер рядка даних	Дано	Знайти
		Швидкості	Прискорення
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Теоретичне обґрунтування : [5] §.48-51, [6] Разд.II, гл. 2,§ 1-3, [7] Разд.2, гл. X ,§ 78-84; [9]; [10].

Методичні вказівки. Задача К-2 – на дослідження простих видів руху твердого тіла (поступального й обертального).

Варто розрізняти кінематичні характеристики твердих тіл і кінематичні характеристики окремих точок цих тіл.

При поступальному русі тіла

Кінематичні характеристики тіла – лінійна швидкість тіла і лінійне прискорення тіла. Кінематичні характеристики точки тіла - швидкість точки і прискорення точки.

Закон руху тіла задається рівнянням руху однієї з його точок . Швидкість тіла - . Прискорення тіла - .

Кінематичні характеристики тіла й окремих точок тіла збігаються.

При обертальному русі тіла навколо нерухомої осі

Кінематичні характеристики тіла – кутова швидкість тіла і кутове прискорення тіла. Кінематичні характеристики точки тіла – лінійна швидкість точки і лінійне прискорення точки.

Закон обертального руху тіла задається залежністю кута повороту від часу: . Кутова швидкість - . Якщо алгебраїчне значення ,то напрям і збігається; якщо , то вони спрямовані протилежно. Кутове прискорення - . Якщо і мають однакові знаки , то рух прискорений, якщо різні – сповільнений.

Швидкість довільної точки тіла, якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, визначається за формулою , де - відстань від точки до осі обертання. Вектор швидкості точки лежить у площині, перпендикулярній осі обертання і спрямований по дотичній до траєкторії руху точки, тобто , за напрямком кутової швидкості.

Вектор прискорення довільної точки тіла, якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, дорівнює геометричній сумі обертального (дотичного) і доцентрового (нормального) прискорень, тобто , де і . Вектор , збігається за напрямком зі швидкістю, якщо рух прискорений, або спрямований протилежно, якщо рух сповільнений. Вектор лежить у площині, перпендикулярній осі обертання і завжди спрямований до осі обертання.

Модуль прискорення точки визначається за формулою .

Приклад К-2

Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.а). Колеса 1 і 2 пов'язані між собою пасовою передачею; колеса 2 і 3 – зубчастою передачею; рейка 4 знаходиться в зубчастім зачепленні із колесом 1; а вантаж 5 прикріплений до нитки, яка намотана на колесо 3. Пас і нитка нерозтяжні. При русі механізму відносне ковзання елементів не відбувається.

Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і ; у колеса 2 - і ; у колеса 3 - і .

Р ейка рухається за законом . Вісь спрямована вертикально вниз. Точка належить зовнішньому ободу колеса 3.

Визначити швидкості та прискорення всіх тіл і точки в момент часу . Усі знайдені величини зобразити на рисунку.