Приклад д-1

На рис.Д1.а зображена схема ділянки для навантаження і вивезення скрапу (технологічна обрізь металопрокату) в цеху гарячої прокатки заготовок.

Кусні обрізі з бункера-нагромаджувача подаються конвеєрним транспортером на плоский похилий навантажувальний лоток . Кут нахилу лотка до горизонту - . Швидкість кусня в точці лотка дорівнює і співпадає з величиною швидкості руху транспортерної стрічки конвеєра . Довжина лотка дорівнює . Коефіцієнт тертя ковзання кусня по лотку - . Після сковзання по ділянці , кусень в точці набуває швидкості , після чого відривається від лотка і під дією сили ваги падає у вагонетку. Місце падіння – точка дна вагонетки, що знаходиться нижче лотка на відстані .

Визначити

1. Яку швидкість необхідно надати стрічці транспортера, щоб місцем падіння куснів обрізі була середина вагонетки (розмір , рис.Д1.а)?

2. Як залежить дальність польоту шматків від їхньої маси?

3. Яку швидкість здобуває кусень обрізі в момент відриву від лотка ?

Дано:

Визначити:

1. - ?

2. - ?

3. - ?

Розв'язування.

Для дослідження руху кусень обрізі заміняємо матеріальною точкою масою . Рух точки від початку лотка до місця падіння умовно розіб'ємо на дві ділянки: прямолінійну - і криволінійну - . Сили, що діють на точку на кожній з ділянок, постійні за величиною і напрямком.

1. Розглянемо рух матеріальної точки на ділянці . Система координат з початком у точці показана на рис.Д1.а. Зобразимо точку на ділянці в довільний момент часу (рис.Д1.б). Зобразимо сили, що діють на точку в цей момент часу. Цими силами є: вертикальна за напрямком сила ваги ; нормальна реакція похилої площини і сила тертя ковзання , спрямована уздовж площини лотка проти руху.

Запишемо динамічні рівняння руху точки в проекціях на обрані осі координат. Проекції сил, що співпадають з осями за напрямком, вважаємо додатними, а протилежні – від’ємними.

Якщо координата , маємо .

Тоді із (2) , що дозволяє обчислити силу тертя ковзання .

Тепер, якщо підставити значення в (1), отримаємо:

;

Перетворимо (3) в диференціальне рівняння шляхом заміни .

Інтегруючи (4) при будемо мати:

Константу визначимо з початкової умови: .

Тоді :

Для моменту часу маємо , тобто

Аналогічно інтегруємо рівняння (6), враховуючи, що , а . Одержимо:

Константу визначимо з початкової умови: .

Тоді:

Для моменту часу маємо , тобто

2 . Розглянемо рух матеріальної точки на ділянці криволінійного руху . Система координат з початком в точці показана на рис. Д1.а. Зобразимо точку на ділянці в довільний момент часу (рис. Д1.в). Зобразимо сили, що діють на точку в цей момент часу. На точку діє тільки одна сила - вертикальна сила ваги (опором повітря нехтуємо). Запишемо динамічні рівняння руху точки в проекціях на осі координат:

Перетворимо рівняння (11) у диференціальне і розв’яжемо його.

Використовуючи початкову умову , знаходимо .

Тоді

Перетворимо (13) у диференціальне рівняння і розв’яжемо його.

.

З початкової умови: маємо , а

Підставляючи в (14) , знайдемо координату точки падіння :

Перетворимо рівняння (12) у диференціальне і розв’яжемо його.

З початкової умови: маємо

Тоді

Перетворимо рівняння (16) у диференціальне і розв’яжемо його:

З початкової умови маємо: . Тому , а

Підставляючи в (17) , знайдемо координату точки падіння :

Розглянемо систему рівнянь (7), (10), (15) і (18). Чотири рівняння містять чотири невідомих параметри: і , тобто система має розв’язок. Після підстановки відомих величин маємо наступне:

Виконавши обчислення, отримаємо:

; ; ; .

Частину із знайдених величин потрібно визначити за умовою задачі.

Аналіз рівняння (15) дозволяє відповісти ще на одне з питань умови - дальність польоту точки не залежить від її маси.

Відповідь.

1. Необхідна швидкість стрічки транспортера .

2. Дальність польоту шматків обрізі не залежить від їх маси.

2. Швидкість кусня в момент відриву від лотка .