Решение.

= с элементом a не сравнимы элементы b и d. С элементом d не сравнимы элементы a, b, c, e.

Рис. 2

1.7.4. Экстремальные элементы в частично упорядоченном множестве

Пусть М – частично упорядоченное множество. Элемент х М называется минимальным элементом этого множества, если во множестве М не существует элемента a x. Элемент y М называется максимальным элементом этого множества, если в нем не существует элемента a>y. Минимальный и максимальный элементы в упорядоченных множествах могут существовать, а могут и не существовать (в случае бесконечных множеств), их может быть несколько.

Пример 1.

M = {1, 2 ... } = N; порядок – обычное сравнение чисел, минимальный элемент  это 1, максимальные элементы отсутствуют).

Пример 2.

M₁ = [0; 1], M₂ = (0; 1], M₃ = [0; 1], M₄ = (0; 1).

В M₁ минимальный элемент  это 0, максимальный элемент это  1.

В M₂ минимального элемента нет, максимальный элемент  это 1.

В M₃ минимальный элемент  это 0, максимального элемента нет.

В M₄ минимальный и максимальный элементы отсутствуют (порядок – обычное сравнение чисел).

Пример 3.

М = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Отношение порядка – это отношение включения. В этом множестве три минимальных элемента, не сравнимых между собой, – множества {1;2}, {1; 3}, {2; 3} . Максимальный элемент один – множество {1, 2, 3}.

Пример 4.

М = {2 ,3, 4 ... }, a < b  a делит b и a ≠ b.

Максимального элемента нет, а минимальные элементы  все простые числа.

Пример 6.

Покажем, как на диаграмме выглядят минимальный и максимальный элементы в случае множества: М = {2, 3, 4, 6, 7, 12, 16, 18}, a < b  a делит b и a ≠ b. (рис.3)

Рис. 3

Минимальные элементы – 2, 3, 7. В минимальный элемент не входит ни одна линия со стрелкой.

Максимальные элементы – 7, 12, 16 18. Из максимального элемента не выходит ни одна линия со стрелкой. Один и тот же элемент может быть одновременно и максимальным, и минимальным. В этом случае он не сравним ни с каким другим элементом данного множества.

Утверждение.

Во всяком непустом конечном, частично упорядоченном множестве М существует хотя бы один минимальный (максимальный) элемент.

Доказательство.

Докажем существование минимального элемента.

Допустим, что в М нет минимальных элементов. Пусть |M| = n, выберем произвольный элемент аМ, обозначим его через х₁. Так как х₁ – не минимальный элемент, то существует bМ, (обозначим b через x₂), такой, что x₂ < х₁. Далее, существует сМ, (обозначим с через х₃), такой, что x₃ < x₂ < x₁. Продолжим перебор элементов множества M. Перебрав все, получим цепочку: x_n < x_n-1 < ... < x₂ < x₁. Так как x_n – не минимальный элемент, то ( k): x_k < x_n, k < n. Таким образом, x_k < x_n < x_n-1 < ... < x_k < ... < < x₁. Но отношение порядка транзитивно, получаем, что x_k < x_k,  противоречие, строгий порядок антирефлексивен.

Определение. Пусть M – частично упорядоченное множество. Элемент хМ называется наименьшим элементом множества М, если (аМ, ax): а > х. Элемент yM – наибольшим элементом множества М, если (аМ, ay): а< y. По определению наименьший (наибольший) элемент сравним со всеми другими элементами множества М

Утверждение.

Если во множестве М существует наименьший (наибольший) элемент, то он единственен.

Доказательство.

Пусть х₁ ≠ х₂ – два наименьших элемента множества . По определению наименьшего элемента х₁ < х₂, (х₁ – наименьший элемент), а также х₂ < х₁ – (х₂ – наименьший элемент)  х₁ = х₂ в силу антисимметричности любого отношения порядка.

Примеры наибольших и наименьших элементов.

1.  и М – являются наименьшим и наибольшим элементами булеана 2^М, упорядоченного по включению.

2. В множестве N наименьший элемент  1, наибольшего элемента нет (порядок – обычное сравнение чисел).

3. Множество R – не имеет ни наибольшего элемента, ни наименьшего элемента (порядок – обычное сравнение чисел).

4. Во множестве В = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, частично упорядоченном по включению, нет наименьшего элемента; множество

{1, 2, 3}  наибольший элемент множества В.