Преобразования Лоренца2

Приведем упрощенный вывод преобразования координат при переходе из одной инерциальной системе координат в другую. Будем полагать, что в начальный момент времени начала отсчета совпадают, и вторая (штрихованная) система движется вдоль оси со скоростью . Из Рис.2 следует, что координата конца линейки относительно неподвижной системы координат равна

В собственной системе отсчета с использованием получим:

,

где . Поскольку движение происходит только вдоль оси , то значения остальных координат не изменяются

.

Если полагать штрихованную систему отсчета неподвижной, то в этом случае система будет двигаться относительно нее со скоростью . Тогда обратное преобразование для координат (в силу равноправности систем отсчета) будет иметь вид, аналогичный с точностью до знака перед :

Для получения соотношения, связывающего между собой времена в различных инерциальных системах отсчета, подставим из в :

.

Преобразуем выражение

Подставив в , получим:

Действуя по аналогии, можно вывести выражения для прямого преобразования:

Из преобразований Лоренца следует ряд выводов:

1. Временные и пространственные интервалы изменяются при переходе из одной инерциальной системы в другую.

2. Существует инвариант, который не изменяется при переходе от одной системы координат к другой. Этот инвариант называется интервалом между событиями

Существование абсолютной величины свидетельствует о том, что пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи: пространственно-временной континуум. Движение в таком континууме происходит вдоль линий, называемых мировыми геодезическими кривыми. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и временных интервалов, ход событий имеет объективный характер и не зависит от выбора системы отсчета.

3. В случае малых скоростей преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (выполняется принцип соответствия).

4. Уравнения волнового фронта имеют одинаковый вид в различных инерциальных системах отсчета: сферическую форму волнового фронта при распространении света в вакууме. Покажем, что уравнение волнового фронта имеет вид сферы в любой инерциальной системе отсчета. В неподвижной системе форма волнового фронта задается уравнением

Подставив в значения пространственных переменных и времени , получим

,

т.е., уравнение волнового фронта в движущейся системе координат также имеет вид сферы.

5. Если два события являются пространственно разделенными в одной системе координат и одновременными , , то в другой системе координат эти события будут неодновременными. Определим интервал времени между этими событиями в движущейся системе координат

Из следует, что при второе событие наступит позже, а при раньше, чем первое. Таким образом, из преобразований Лоренца следует нарушение очередности событий в различных инерциальных системах отсчета. Однако можно показать, что для причинно обусловленных событий порядок их следования не изменяется (сын не может появиться на свет раньше отца).

6. Закон преобразования скоростей можно получить, вычислив дифференциал от , и разделив на получим:

Аналогично можно получить формулы для обратного преобразования

Из , видно, что при переходит в преобразования Галилея для скоростей