2. Математическое описание методов

2.1 Метод половинного деления при приближенном вычислении алгебраических и трансцендентных уравнений

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a, b], т.е. f(a)f(b)<0 и  f ’(x) сохраняет знак (рис. 1).

            

Рисунок 1 – График функции y=f(x).

В качестве начального приближения корня возьмем точку c₀ – середину отрезка:

Если  , то   – искомый корень уравнения, если ,

то из двух отрезков [a,  ] и [ , b] выбираем тот, на концах которого функция принимает значение разных знаков.

Новый отрезок опять делим пополам и далее поступаем аналогично вышеизложенному. Длина каждого нового отрезка вдвое меньше длины предыдущего отрезка, т.е. за n шагов сократится в  раз.

Вычисления прекращаем, если длина отрезка [ , ], станет меньше заданной погрешности  , т.е.:

Достоинство метода половинного деления : более быстрая сходимость к заданной точности, чем у шагового. Недостаток: если на отрезке [а, b] содержится более одного корня, то метод не работает [1].

2.2 Вычисление определенного интеграла по формуле трапеции

Пусть требуется вычислить интеграл  , где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда . Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками и с помощью прямых построим n прямолинейных трапеций. Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, где и - соответственно основания трапеций; - их высоты. Таким образом, получена приближенная формула:

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n [1].

2.3 Метод Эйлера для вычисления дифференциального уравнения

Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов , …, и числа , не определяя функцию у=f(x), найти такие значения , ,…, , что и F( )= .

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=f(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является

сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для

ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием x= , y( )= Требуется найти решение уравнения на отрезке [а,b]. Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность , , ,…, , где = +ih (i=0,1,…, n), а -шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у( )( ) вычисляются

последовательно по формулам +hf( , ) (i=0,1,2…). При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку ( , ), заменяется ломаной … с вершинами ( , ) (i=0,1,2,…); каждое звено этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление,

совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения, которая проходит через точку . Если правая часть уравнения в

некотором прямоугольнике удовлетворяет условиям:

(N=const),

(M=const), то имеет место следующая оценка погрешности:

|y( )- |, где у( )-значение точного решения уравнения при х= , а -приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка [1].

2. БЛОК-СХЕМА ПРОГРАММЫ MAIN

Рисунок 2 – Блок-схема главной программы.

1. Блок-схема метода половинного деления объекта Tpoldel

Рисунок 3 – Блок-схема метода половинного деления.

2. Блок-схема метода трапеции объекта Tmettrap

Рисунок 4 – Блок-схема метода трапеции.

3.3 Блок-схема метода Эйлера объекта Teyler

Рисунок 5 – Блок-схема метода Эйлера.

3.4 Диаграмма классов главной программы

Диаграмма 1 – Диаграмма классов главной программы.

3.5 Диаграмма взаимодействий главной программы

1

1

2

3

Диаграмма 2 – Диаграмма взаимодействий главной программы.