1.2. Несколько формул теории вероятностей

9

где

Р(х е Ах_к) = —-—— -

- вероятность того, что х Е Ах_к.

Простое преобразование условия нормировки

^Р(хеАх_к) 2_^ \^ ^Хк

Ах_к к ^К

и переход к пределу Ах_к —> 0 приводят это условие к виду

ъ

fw(x)dx = l, (2)

а

где w(x)— плотность вероятности:

w_{x) = lim ГЩМ. (3)

^v Дж^о Ах

Эта функция, описывающая форму ”горки”, которую образуют числа ж, если их изображать точками на числовой оси, и область возможных зна­чений х: а < х < Ь являются статистически устойчивой частью последо­вательности этих чисел.

Примером непрерывной случайной величины может служить время жизни радиоактивного атома t (0 <t < оо). Вид плотности вероятности этой случайной величины обсуждается ниже.

2. Если случайное событие А состоит из нескольких событий В_к, (к = 1,2,...), связанных союзом или, то

Р(А) = ^Р{В_к). (4)

к

Например, при подбрасывании игрального кубика у вашего партнера вы­пало 4 очка. Чтобы выиграть, вам надо получить 5 или 6 очков, поэтому вероятность выигрыша Р(5 или 6) = Р(5) + Р(б). Для ”честного” кубика Р(5) = Р(6) = 1/6, и вероятность выигрыша равна 1/3.

3. Если случайное событие А состоит из нескольких событий В_к, (к = 1,2,...), связанных союзом и, то

Р(А) = Р(В₁)Р(В₂)... (5)

Например, суммарное количество очков, выпадающих при одновремен­ном подбрасывании кубика и монеты, может быть любым числом от 1 до

10 1. Введение. Статистическая эквивалентность и моделирование

7. При этом 7 очков получится, если на кубике выпадет 6 очков и мо­нета упадет решкой вверх. Вероятности этих событий равны 1/6 и 1/2, соответственно, поэтому P(7) = 1/12.

4. Примером комбинации формул (4) и (5) может служить формула полной вероятности, которую мы проиллюстрируем простым примером.

Пусть туристы, прибывающие в город, хотят найти и осмотреть до­стопримечательность A. Будем считать, что у них нет карты города и они не знают языка аборигенов, чтобы спросить дорогу. Поэтому улицу, по которой можно начинать экскурсию, каждый из них выбирает случай­ным образом. Так же случайно они решают, куда свернуть на каждом перекрестке.

Обозначим через N количество туристов и N(k) - количество тех из них, кто выбрал в начале пути дорогу с номером k. Тогда

^{J2N(k) = N}

и

к

где

p(k) = ^

- соответствующая вероятность. Через N(A) обозначим количество тури­ стов, которым удалось найти А за отведенное время, и

Р{А) = ^

- вероятность успеха.

Величину N(A) в этой формуле запишем в виде суммы

N(A) = J2N(A;k)i

где N(A; к) - количество людей, начавших экскурсию с дороги номер к и дошедших до цели А. В этих обозначениях вероятность Р(А) может быть записана в виде

_М = _ЕадМ = г_Риад1)_| (6)

^v ' N ^ N Nik) *-^ к ^v к

где

_{Р(А к) = ~ЩкГ}

1.2. Несколько формул теории вероятностей

11

- вероятность успеха для тех туристов, которые начали экскурсию с до­роги номер k (условная вероятность).

В некоторых задачах ”номер дороги” может пробегать непрерывный ряд значений. В этом случае суммирование в условии нормировки и в формуле полной вероятности заменяется интегрированием.

Далее будет показано, что если статистически устойчивая часть случайного явления известна, то последовательности чи­сел, статистически эквивалентные тем, что получаются экспери­ментально, можно генерировать на ЭВМ. Их получение будем называть статистическим моделированием данного явления.

Методы статистического моделирования часто называют методами Монте-Карло. Это название происходит от названия города Монте-Карло в княжестве Монако, известного своим казино, где играют в рулетку, которая может считаться простейшим устройством для генерации слу­чайных чисел. Во время второй мировой войны метод был использован для решения проблем, связанных с созданием атомной бомбы. Название ”метод Монте-Карло” было предложено в 1949 году в работе Metropolis N., Ulam S.M. ”The Monte Carlo Method”, J. Amer. Statist. Assoc., 1949, 44, No 247, p.335-341. Тогда же началось его систематическое развитие и использование. Создателями метода считают Дж.Неймана, С.Улама и Н.Метрополиса, однако первым, кто еще в начале 30-х годов ХХ века применил этот метод для решения задач замедления нейтронов, был, по-видимому, Э.Ферми. Метод эффективен и полезен при решении вероят­ностных задач, однако в настоящее время его успешно используют в ка­честве инструмента и в тех задачах, где случайность отсутствует.