ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский политехнический университет»

А.М.Кольчужкин, А.В.Богданов

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО В ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЙ

Учебное пособие

Издательство ТПУ Томск 2006

ББК 22.171 + 22.172 УДК 519.2 К62

А.М.Кольчужкин, А.В.Богданов.

Метод Монте-Карло в теории переноса излучений. К 62 Учебное пособие. - Томск: Изд-во ТПУ, 2006. - 120 с.

Учебное пособие основано на материалах лекций, которые читаются в Том­ском политехническом университете. В книге изложены основные идеи ста­тистического моделирования случайных явлений, описаны процессы электро­магнитных взаимодействий частиц с атомами, рассмотрены методы модели­рования траекторий частиц в веществе и оценки характеристик радиацион­ных полей. Подчеркивается универсальность и междисциплинарность метода Монте-Карло, который используется не только в теории переноса излучений, но и для решения вероятностных задач в других областях науки и техники.

Одна из основных целей книги - формирование навыков программирования и приобретение практического опыта решения задач статистического моде­лирования. Каждый раздел пособия включает в себя вопросы для самокон­троля, упражнения и задачи.

Пособие рассчитано на студентов старших курсов и магистров физических специальностей.

ББК 22.171 + 22.172 УДК 519.2

Рекомедовано советом УМО в качестве учебного пособия

для студентов, обучающихся по специальности 330300

«Радиационная безопасность человека и окружающей среды»

Рецензенты:

Доктор физико-мататематических наук, зав. кафедрой теоретической физики Алтайского государственного университета

А.А.Лагутин.

Доктор физико-мататематических наук профессор Челябинского государственного университета

А.П.Яловец.

©Томский политехнический университет 2006

Содержание

Предисловие 6

1. Введение. Статистическая эквивалентность и моделирование 7

1. Устойчивость, случайность, статистическая устойчивость . 7

2. Несколько формул теории вероятностей 8

Вопросы 12

2. Равномерно распределенные случайные числа 13 2.1. Генерация равномерно распределенных случайных чисел . 13

Вопросы 18

Упражнения 18

Задачи 19

Проблемы 21

3. Случайные точки в многомерном пространстве 22

3. Случайные точки, равномерно распределенные на плоскости и в пространстве 22

4. Вычисление площадей и объемов. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло 23

Вопросы 27

Упражнения 27

Задачи 27

Проблемы 28

4. Неравномерно распределенные случайные числа 29

5. Метод функции распределения 29

6. Метод исключения 33

7. Метод суперпозиции 36

8. Моделирование случайных точек в криволинейных координатах 36

Вопросы 41

Упражнения 42

Задачи 43

Проблемы 44

5. Распределение Пуассона 45

9. Прохождение частиц через вещество 45

10. Радиоактивный распад 47

11. Многоканальный и сложный радиоактивный распад . . 49

4

СОДЕРЖАНИЕ

12. Моделирование процесса размножения-гибели 50

13. Распределение Пуассона 51

Вопросы 53

Упражнения 54

Задачи 55

Проблемы 56

6. Основные понятия теории переноса частиц 57

14. Плотность распределения источников 57

15. Полное и дифференциальное сечения взаимодействия . . . 58

16. Макроскопические коэффициенты взаимодействия 60

17. Основные характеристики радиационных полей 61

Вопросы 70

Упражнения 71

Задачи 71

Проблемы 71

7. Сечения взаимодействия основных электромагнитных процессов 72

18. Взаимодействие заряженных частиц с веществом 72

19. Взаимодействие гамма-квантов с веществом 82

Вопросы 89

Задачи 90

Проблемы 91

8. Моделирование траекторий частиц. Оценка характеристик радиационных полей 92

20. Вероятностный смысл коэффициентов взаимодействия. Моделирование траекторий частиц 92

21. Особенности моделирования траекторий заряженных частиц 94

22. Оценка характеристик поля излучения 95

Вопросы 97

Упражнения 97

Задачи 98

Проблемы 99

9. Статистическая погрешность метода Монте-Карло. Методы уменьшения погрешности 100

23. Статистическая погрешность метода Монте-Карло 100

24. Методы уменьшения статистической погрешности 102

Вопросы 107

Упражнения 107

СОДЕРЖАНИЕ

5

Задачи 107

Проблемы 108

10.Расчет переходных и граничных эффектов 109

Приложение 112

Основная литература 119

Дополнительная литература 119

6

Предисловие

^{ПРЕДИСЛОВИЕ}

Изучение процессов прохождения излучений через вещество является основным источником информации о структуре, свойствах и взаимодей­ствиях субатомных частиц. Кроме этого пучки нейтронов, гамма-квантов, электронов и других частиц широко используются для решения теорети­ческих и прикладных задач физики ядерных реакторов, защиты от из­лучений, дефектоскопии, радиационной физики, химии, радиобиологии и других наук, где часто требуется проведение расчетов радиационных полей, создаваемых различными источниками.

Статистическое моделирование (метод Монте-Карло) - важнейший ме­тод, который используется для таких расчетов. Он позволяет вычислять характеристики радиационных полей с учетом всех особенностей геомет­рии задачи и процессов взаимодействия частиц. В учебном пособии опи­саны основные идеи, методы и алгоритмы статистического моделирова­ния случайных явлений, рассмотрены процессы электромагнитных взаи­модействий частиц с атомами, а также методы моделирования траекторий частиц в веществе и оценки характеристик радиационных полей.

В курсе подчеркивается универсальность и междисциплинарность ме­тода Монте-Карло, что позволяет использовать его не только в теории переноса излучений, но и для решения вероятностных задач теории на­дежности, массового обслуживания, статистической оценки качества про­дукции, биологии, экономики, теории управления, а также для вычис­ления многократных интегралов, поиска экстремумов функций многих переменных, решения уравнений математической физики.

Одна из основных целей курса - приобретение навыков программиро­вания и практического опыта решения задач статистического моделирова­ния, поэтому важной частью пособия являются разработанные А.В.Бог­дановым упражнения и задачи, решение которых позволяет закрепить знания и приобрести соответствующий опыт. Приведенные в Приложе­нии блок-схемы и тексты программ могут быть использованы в качестве шаблонов при самостоятельном решении задач.

Особое внимание уделяется доступности изложения, поэтому необхо­димые понятия и сведения из теории вероятности даются на простых примерах и с помощью программ статистического моделирования. Это помогает учащимся составить наглядное представление об изучаемых яв­лениях и процессах и выработать вероятностную интуицию.

Пособие рассчитано на студентов старших курсов и магистров физи­ческих специальностей.

1. Введение. Статистическая эквивалентность и моделирование

1.1. Устойчивость, случайность, статистическая устойчивость

Все явления в окружающем нас мире в той или иной степени связаны между собой. Каждое из них является причиной одних и следствием дру­гих, а человек, изучающий эти явления, должен уметь отвечать на вопрос: ”Что будет, если ...” При исследовании таких причинно–следственных свя­зей было установлено, что все явления можно разделить на 2 класса: явления с устойчивым исходом (результатом) и явления со случайным исходом.

Устойчивость означает повторение результата, если наблюдение про­изводится при одних и тех же условиях. Например, вода всегда закипает при температуре 100⁰ С, если атмосферное давление равно 760 мм Hg. При изучении таких явлений задача исследователя состоит в том, чтобы определить экспериментально или рассчитать тео­ретически этот результат.

Случайность означает многовариантность и непредсказуемость ре­зультата при повторных испытаниях в одних и тех же условиях. Так, слу­чайным является результат подбрасывания монеты или игры в ”Спорт-лото”, количество товара, проданного за день, количество и масса ры­бы, пойманной рыболовом на удочку, расстояние, которое пролетит сна­ряд или брошенный камень, и т.д. В задачах теории переноса излучений случайным является время жизни радиоактивного атома, длина пробе­га частицы между столкновениями в радиационной защите, количество частиц, падающих на детектор за время измерения, и т.д. Естественно, при исследовании явлений со случайным исходом меняется и характер вопросов, на которые должен быть получен ответ. Анализ различных слу­чайных явлений показал, что среди них есть такие, для которых наблю­дается статистическая устойчивость, то есть через хаос случайности просвечивает нечто повторяющееся, закономерное. Например, результа­ты подбрасывания монеты или вытаскивания карты из колоды образуют случайную последовательность, но при повторении эксперимента остают­ся теми же самыми список возможных исходов и то, как часто появля­ется каждый из них в достаточно длинной серии испытаний, то есть вероятность каждого результата из этого списка. Этот список и соответ­ствующие ему вероятности будем называть статистически устойчивой частью случайного явления, а последовательности, имеющие одну и ту же статистически устойчивую часть, - статистически эквивалентными

8 1. Введение. Статистическая эквивалентность и моделирование

последовательностями.

Определение статистически устойчивой части случайной по­следовательности результатов является целью исследования яв­лений со случайным исходом.

1.2. Несколько формул теории вероятностей

Математическим аппаратом, который используется при анализе слу­чайных явлений и процессов, является теория вероятностей. Она, в частности, позволяет выразить вероятности одних случайных событий че­рез вероятности других событий, связанных с первыми. Приведем несколь­ко формул такого типа, которые будут использоваться в дальнейшем.

1. Пусть {А/;}, к = 1,2,...- список возможных результатов экспери­мента, а N(A_k) - число, показывающее сколько раз (в среднем) cлучайный результат А_к встречается в серии из N испытаний. Тогда

J2N{A_k) = N. к

Разделив обе части этого равенства на N, получим условие нормировки

^Р{А_к) = 1, (1)

к

где

рш = W-

- вероятность события А_к.

Например, случайным является количество частиц космических лу­чей, падающих на детектор за время измерения: п = 0,1, 2,3,.... Вероят­ность каждого из этих значений вычисляется ниже.

Если случайные числа х, характеризующие результат испытания, про­бегают непрерывный ряд значений, то, изобразив их точками на числовой оси, можно записать очевидное равенство

^ N(xeAx_k) = N, к

где N(x Е Ах_к) - среднее количество случайных чисел, попадающих в интервал Ах_к. Разделив обе части этого равенства на N, снова получим условие нормировки

^Р(жеАж_к) = 1,