8. Значения величин переменного тока, векторные диаграммы.

В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС токи тоже синусоидальны:

i=I_m sin(ωt+ψ_i) ),

где ω – угловая частота, ψ_i – начальная фаза тока, I_m – максимальное значение (амплитуда) тока.

Средним значением синусоидального называют его среднее значение за положительный полупериод, совпадающее со средним значением по модулю:

Icp = 2/t*∫ (от 0 до t/2) I dt = 2/t* ∫ (от 0 до t/2) Im sin(ωt) dt = 2Im/π.

Если в резистивном элементе с сопротивлением R при постоянном и синусоидальном токах за одинаковый интервал времени выделяется одинаковая энергия, то такое значение постоянного тока называется действующим значением соответствующего синусоидального тока.

За интервал времени один период Т в резистивном элементе с сопротивлением R выделяется энергия при синусоидальном токе.

W_~= ∫ (от 0 до t/2) Ri² dt,

При постоянном токе: W₌ = R I² T.

Приравняв их мы получим действующее значение тока: I = √1/Т ∫ (от 0 до t/2) i^2 dt.

I =√1/Т ∫ (от 0 до t/2) Im^2 sin² ωt dt = Im √1/Т ∫ (от 0 до t/2) 1-cos2ωt/2 dt = Im/√2.

Аналогичны для любой синусоидальной величины соотношения.

Синусоидальную величину можно представить вращающимся вектором, комплексным числом (для того чтобы представить синусоидальную величину а=Аm sin(ωt +ψ) с начальной фазой ψ_а комплексным числом, проведем на комплексной плоскости из начала координат под углом ψ_а к оси действительных значений вектор длина которого в масштабе построения равна амплитуде А_m величины, конец этого вектора находится в точке которой соответствует комплексное число – комплексная амплитуда синусоидальной величины Ả_m = A_m e^j* ψ_а. Ả_m = A_m e^j*(ωt+ψ_а) = A_m cos (ωt+ψ_а) + j A_m sin (ωt + ψ_а), величина мнимой части вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине. Применяется три формы записи комплексного действующего значения синусоидальной величины):

1. показательная (Ả= A e^j* ψ_а),

2. тригонометрическая (Ả = А cos ψ + jA sin ψ),

3. алгебраическая Ả = Re Ả + jIm Ả

e^(±j ψ_i)= cos ψ_a + j sin ψ_a. – формула Эйлера

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты называется векторной диаграммой. Пользуясь ею сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

9. Сопротивления и мощности в цепях переменного тока. Треугольники

напряжений, сопротивлений, мощностей.

Активная мощность цепи – P = U_rI = I²r, Вт.

Реактивная индуктивная мощность цели, обусловленная энергией магнитного поля, – Q_L = U_LI = I²x_L, ВАР.

Реактивная емкостная мощность цепи, обусловленная энергией электрического поля, – Q_C = U_CI = I²x_C, ВАР.

Реактивная мощность цепи Q = Q_L – Q_C = I²x, ВАР,– это та мощность, которой приемник обменивается с сетью. Полная мощность цепи – S – UI = I²z, ВА, cos φ = коэффициент мощности цепи. Тогда P = S cos  φ = UI cos  φ; Q = S sin  φ = UI sin  φ;

S=√(P² + Q²)=UI

За единицу активной мощности принят ватт (Вт), реактивной мощности – вольт-ампер реактивный (ВАР), полной мощности – вольт-ампер(ВА).

Реактивные (индуктивная, емкостная) мощности, обусловленные соответственно энергией магнитного поля индуктивности и электрического поля емкости, не совершают никакой полезной работы, но они оказывают существенное влияние на режим работы электрической цепи. Циркулируя по проводам трансформаторов, генераторов, двигателей, линий передач, они нагревают их. Поэтому расчет проводов и других элементов устройств переменного тока производят исходя из полной мощности, которая учитывает активную и реактивную мощности.

Рис. 18. Схема включения приборов дм измерении активной, реактивной и полной мощностей цепи, a также  ее параметров

Коэффициент мощности имеет большое практическое значение: он показывает, какая часть полной мощности является активной мощностью. Полная мощность и коэффициент мощности наряду с другими параметрами являются расчетными величинами и в конечном счете определяют габаритные размеры трансформаторов, генераторов, двигателей и других электротехнических устройств.

Измерение активной, реактивной, полной мощностей и cos φ, а также параметров цепи, например r и L, можно произвести с помощью ваттметра, амперметра и вольтметра, включенных в цепь по схеме, изображенной на рисунке 18.

Ваттметр измеряет активную мощность Р цепи. Полная мощность цепи равна произведению показаний вольтметра и амперметра.

Реактивную (индуктивную) мощность и коэффициент мощности цепи (рис. 18) определяют расчетным путем по формулам:

Активное сопротивление находят из формулы:

Полное сопротивление цепи -

Индуктивное сопротивление -

Индуктивность L определяют из формулы: x_L = 2pL,

откуда

Цепь переменного тока в чисто активном сопротивлении

Типичными представителями активных сопротивлений являются резисторы, лампы накаливания, электрические печи и т.д. Индуктивностью обладают катушки реле, обмотки электродвигателей и транс-форматоров. Индуктивное сопротивление подчитывается по формуле:

где L - индуктивность.

Емкостью обладают конденсаторы, длинные линии электропередачи и т.д. Емкостное сопротивление подсчитывается по формуле:

где С - емкость.

Реальные потребители электрической энергии могут иметь и комплексное значение сопротивлений. При наличии R и L значение суммарного сопротивления Z подсчитывается по формуле:

Аналогично ведется подсчет Z и для цепи R и С:

Потребители с R, L, C имеют суммарное сопротивление:

Треугольник мощностей и сопротивления получим ряд формул: , , , .

Из треугольника сопротивлений получим несколько формул:

; аналогичные формулы и для с емкостным сопротивлением т.е Х_L можно заменить на X_C .

Треугольник напряжений

, U=IZ, U_A=IR, U_L=IX_L, U_C=IX_C, U_P=U_L-U_C, .