1.5.2. Трансформаційне кодування

Методи кодування з пророкуванням, які обговорюються в Розділі 1.5.1, оперують безпосередньо зі значеннями елементів зображення, і тим самим є просторовими методами. У справжньому розділі будуть розглядатися методи стиску, засновані на модифікації і стисненні результатів перетворення зображення, так звані методи трансформаційного кодування. Відповідно до цього підходу, оборотне лінійне перетворення (наприклад, перетворення Фур'є) використовується для відображення зображення в набір коефіцієнтів перетворення, які потім квантуються і кодуються. Для більшості реальних зображень значне число коефіцієнтів мають малу величину, і можуть бути достатньо грубо квантованими (або повністю видалені) ціною невеликого спотворення зображення. Для перетворення даних зображень можут використовуватися різні перетворення, включаючи дискретне перетворення Фур'є (ДПФ).

На Рис. 1.28 показана схема звичайної системи трансформаційного кодування. Кодер виконує чотири досить зрозумілі операції: розбиття зображення на блоки, перетворення, квантування і кодування. Декодер виконує зворотню послідовність операцій (за винятком квантування). Спочатку зображения розмірами розбивається на блоків розмірами , які потім і піддаються перетворенням. Метою процесу перетворення є декореляції значень елементів в кожному блоці, або ущільнення якомога більшої кількості інформації в найменше число коефіцієнтів перетворення.

а)

б)

Рис. 1.28. Система трансформаційного кодування: (а) кодер; (б) декодер.

На етапі квантування ті коефіцієнти, які несуть мінімальну інформацію, видаляються або ж квантуються грубо (вони дають найменший внесок у якість відновлюваного блоку). На кінцевому етапі здійснюється кодування квантованих коефіцієнтів, як правило, за допомогою нерівномірних кодів. Всі або деякі із зазначених етапів можуть бути адаптовані до умісту блоку, тобто до локальних характеристиках зображення; такий варіант називають адаптивним трансформаційним кодуванням. В іншому випадку говорять про неадаптивность трансформаційному кодуванні.

Вибір перетворення

Системи трансформаційного кодування, засновані на різних дискретних двовимірних перетвореннях, досить добре досліджені і вивчені. Вибір найкращого перетворення для конкретного додатка залежить від величини допустимої помилки відновлення і від наявних обчислювальних ресурсів. Стиснення ж виникає не під час перетворення, а на етапі квантування отриманих коефіцієнтів.

Розглянемо зображення розмірами , пряме дискретне перетворення яке може бути виражене в наступному загальному вигляді

для Аналогічним чином, зображений може бути отримано за заданим за допомогою зворотного перетворення

для . Функції і в даних рівняннях називаються, відповідно, ядром прямого і ядром зворотнього перетворення. З причин, які будуть ясні нижче, їх також називають базисними функціями або базисними зображеннями. Набір для в рівнянні (1.5-25) називають коефіцієнтами перетворення; вони можуть бути коефіцієнтами розкладання зображення за базисними функціями .

Ядро прямого перетворення в (1.5-24) називається розділеним, якщо

У разі, коли дорівнює , рівняння (1.5-26) може бути записано у вигляді

Аналогічні коментарі можуть бути зроблені по відношенню до отруту ¬ ру зворотного перетворення; для цього досить замінити на в (1.5-26) і (1.5-27 ). Неважко показати, що двовимірне розділене перетворення може бути обчислено за допомогою відповідних одновимірних перетворень, які виконуються послідовними проходами спочатку по рядках, потім по стовпцях, або ж у зворотному порядку.

Ядра прямого і зворотного перетворень в (1.5-24) і (1.5-25) визначають саме перетворення, загальну обчислювальну складність, а також помилки відновлення системи трансформаційного кодування, в якій це перетворення використовується. Найбільш відомої парою ядер перетворення є

і

де . Підставляючи ці ядра в (1.5-24) і (1.5-25), отримаємо спрощенний варіант (в якому М = N) прямого та зворотного дискретного перетворення Фур'є.

Обчислювально більш просте перетворення, також широко використовується в трансформаційному кодуванні і називається перетворенням Уолша-Адамара (ПУА), виходить за допомогою функціонально ідентичних ядер:

де . Підсумовування у показнику ступеня виконується по модулю 2, і означає -й біт (справа наліво) в двійковому представленні . Якщо, наприклад, і , то , , . Значення в (1.5-30) обчислюються наступним чином:

де підсумовування, як зазначалося раніше, виробляються за модулем 2. Для обчислення використовуються аналогічні вирази.

На відміну від ядер ДПФ, які є сумами синусів і косинусів (див. (1.5-28) і (1.5-29)), ядра перетворення Уолша-Адамара складаються з +1 і - 1, що чергуються розташованих у шаховому порядку. На Рис. 1.29 показано ядро ​​для N = 4. Кожен блок складається з 4x4 = 16 елементів; білий колір означає +1, а чорний означає -1. Щоб сформувати лівий верхній блок необхідно покласти і обчислити значення для . Всі значення в цьому випадку дорівнюють +1. Другий блок у верхньому ряду є набір значень для , і так далі. Як уже зазначалося, важливість перетворення Уолша Адамара полягає в простоті реалізації - значення всіх елементів в його ядрі дорівнюють або +1 або -1.

Рис. 1.29. Базисні функції Уолша-Адамара для N = 4. Початок координат кожного блоку знаходиться в його лівому верхньому куті.

Одним з найбільш часто використовуваних перетворень для стиску зображень є дискретне косинусне перетворення (ДКП). Воно виходить шляхом підстановки в (1.5-24) і (1.5-25) наступних (однакових) ядер:

  

де

і аналогічно для . На Рис. 1.30 показані базисні функції для випадку . Результати представлені в тому ж форматі, що і на Рис. 1.29, за винятком того, що значення не є цілими. Світліші рівні яскравостей на Рис. 1.30 відповідповідають великим значенням  .

Рис. 1.30. Базисні функції дискретного косинусного перетворення для N = 4. Початок координат кожного блоку знаходиться в його лівому верхньому куті.

Приклад 1.19. Трансформаційне кодування з використанням ДПФ, ПУА і ДКП, і усіканням коефіцієнтів.

На Рис. 1.31 (а), (в) і (д) показані три наближення напівтонового зображення розмірами 512x512 елементів (Рис. 1.23). Ці результати були отримані розбиттям вихідного зображення на блоки розмірами 8x8 елементів, представленням кожного блоку за допомогою одного з розглянутих перетворень (ДПФ, ПУА або ДКП), обнуленням (усіканням) 50% найменших за значеннями коефіцієнтів, і виконанням зворотних перетворень над отриманими масивами.

У всіх випадках 32 залишаються коефіцієнта вибиралися як найбільші за значенням. Якщо відволіктися від використання квантування і кодування, то цей процес призводить до двократнього стиску вихідного зображення. У всякому разі зауважимо, що 32 видалених коефіцієнта мали дуже малий вплив на якість відновленого зображення. Їх усунення, тим не менш, призвело до виникнення деяких відхилень, які у вигляді зображень представлені на Рис. 1.31 (6), (г) і (е). Значення стандартних відхилень помилок склали, відповідно, 1,28, 0,86, і 0,68 рівнів яскравості.

Невеликі відмінності в стандартних відхиленнях помилок, приведених в попередньому прикладі, прямо пов'язані з енергією, або характеристиками ущільнення інформації застосованих перетворень. Відповідно до (1.5-25), зображення розмірами може бути представлене як функція свого двовимірного перетворення :

для . Зауважимо, що в порівнянні з (1.5-25) тут відбулася заміна N на , і тепер розглядається як блок стисливого зображення. Оскільки ядро ​​зворотного перетворення в (1.5-34) залежить тільки від індексів а не від значень або , то воно може розглядатися як набір базисних функцій або базисних зображень для лінійної комбінації (1.5-34).

а) б)

в) г)

д) е)

Рис. 1.31. Наближення зображення на Рис. 1.23 за допомогою перетворення з усіканням коефіцієнтів: (а) Фур'є, (в) Уолша-Адамара, (д) ​​косинусного, а також зображення відповідних посилених помилок.

Ця інтерпретація стане ясніше, якщо записати (1.5-34) у вигляділі

де є матриця розмірами , що містить значення елементів блока , а

Тоді - матриця, що містить значення елементів вхідного блоку - явно задається як лінійна комбінація матриць розмірами , тобто матриць для в (1.5-36). Ці матриці фактично є базисними зображеннями (або функціями) розкладання (1.5-35); відповідні значення є коефіцієнтами розкладання. Базисні зображення ПУА і ДКП для випадку n = 4 ілюструються на Рис. 1.29 і 1.30.

Задамо маскуючу функцію для коефіцієнтів перетворення:

для . Наближення для виходить з усіченої послідовності

де призначена для видалення тих базисних зображень, які дають найменший внесок у загальну суму в (1.5-35). Тоді середній квадрат помилки між фрагментом і його наближенням буде дорівнювати

де є норма матриці ( ), а - дисперсія коефіцієнтів в точці . При отриманні останнього виразу в (1.5-39) використано властивість ортогональності базисних зображень, а також припущення, що елементи породжуються випадковим процесом з нульовим середнім і відомою коваріації. Таким чином, сумарний середній квадрат помилки наближення рівне сумі дисперсій коефіцієнтів відкинутих членів послідовностей (тобто тих для яких а в (1.5-39 ) дорівнює 1). Перетворення, які перерозподіляють, або запаковують максимальну кількість інформації в найменше число коефіцієнтів, забезпечують найкраще наближення елементів блока, і, як результат, дають найменшу помилку відновлення. Нарешті, згідно з тими ж припущеннями, що призвели до (1.5-39), середній квадрат помилки блоків на зображенні розмірами збігаються. Отже, середній квадрат помилки (є мірою середньої помилки) для зображення розмірами дорівнює середнього квадрату помилки окремого блоку.

Попередній приклад показав, що ДКП володіє кращою властивістю до упаковки інформації, в порівнянні з ДПФ і ПУА. Хоча ця ситуація справедлива для більшості реальних зображень, тим не менш, оптимальним в сенсі упаковки інформації є перетворення Карунена-Лоева, а не ДКП. Тобто ПКЛ мінімізує середній квадрат помилки в (1.5-39) для будь-якого вхідного зображення і будь-якого числа збережених коефіцієнтів. Однак, оскільки ПКЛ залежить від перетворюваних даних, то отримання базисних зображень для кожного блоку зображення є нетривіальною для обчислень завданням. З цієї причини ПКЛ для стиснення зображень використовується рідко. Замість цього зазвичай застосовуються такі перетворення, як ДПФ, ПУА або ДКП, базисні зображення яких фіксовані (тобто не залежать від вхідних даних). З перетворень, що не залежать від вхідних даних, найпростішими в реалізації є не синусоїдальні, а такі, наприклад, як ПУА. З іншого боку, перетворення, засновані на гармонійних функціях (ДПФ, ДКП або аналогічні), краще наближаються до оптимальної упаковки інформації, що досягається ПКЛ.

Завдяки цьому багато системи трансформаційного кодування грунтуються на ДКП, яке дає хороший компроміс між ступенем упаковки інформації та обчислювальною складністю. Доказом того, що характеристики ДКП мають велике практичне значення, є той факт, що ДКП увійшло в міжнародний стандарт систем трансформаційного кодування (див. Розділ 1.6). У порівнянні з іншими подібними перетвореннями, ДКП забезпечує упаковку найбільшої кількості інформації в найменше число коефіцієнтів (для більшості реальних зображень), а також мінімізує ефект появи блокової структури, що називається блоковими спотвореннями, що виявляється в тім, що на зображенні стає видно границю між сусідніми блоками. Остання особливість вигідно виділяє ДКП серед інших синусоїдальних перетворень. Оскільки ДПФ характеризується n-точковою періодічностью, то розриви на межах блоків, представлені на Рис. 1.32 (а), призводять до появи помітної високочастотної складової. При усіканні або квантуванні коефіцієнтів ДПФ, прикордонні елементи блоків через явища Гіббса приймають невірні значення, що призводить до виникнення блокових спотворень. Таким чином, межі між сусідніми блоками стають помітними через те, що прикордонні елементи блоків приймають спотворені значення. ДКП представлене на Рис. 1.32 (6), зменшує цей ефект, тому що його періодичність у 2n точок не призводить до розривам на кордонах блоку. Перевагою ДКП є також і те, що воно реалізоване в інтегральних мікросхемах.

а)

б)

Рис. 1.32. Періодичність, притаманна одномірним (а) ДПФ і (б) ДКП.

Вибір розмірів блоку

Іншим важливим чинником, від якого залежать помилки трансформаційного кодування і обчислювальна складність, є розмір блоку. У більшості додатків зображення розбиваються таким чином, що кореляція (надмірність) між сусідніми блоками зменшується до деякого допустимого рівня, причому розмір блока n вибирається як ціла ступінь двійки. Остання умова дозволяє спростити обчислення перетворень по блоках. Взагалі, зі збільшенням розміру блоку зростає як ступінь стиснення, так і обчислювальна складність. Найбільш часто використовуваними є розміри 8 х 8 і 16x16 елементів.  

Приклад 1.20. Вплив розміру блока в трасформаційному кодуванні.

На Рис. 1.33 графічно показано вплив розміру блоку на точність відновлення при трансформаційному кодуванні. Дані, наведені на графіках, були отримані розкладанням на півтонового зображення на Рис.1.23 на блоки розмірами , де обчисленим перетворення по кожному блоку, усіканням 75% отриманих коефіцієнтів, і виконанням зворотного перетворення. Згодом, що криві ПУА і ДКП стають майже горизонтальні при розмірах блока великих 8 , тоді як помилки відновлення ДПФ в цій області зменшуються, ще більш швидше. Екстраполюючи ці криві на більші значення n можливо уявити, що крива помилок выдновлення ДПФ перейде криву ПУА і наблизиться до ДКП.

Рис. 1.33. Залежність помилки відновлення від розмірів блоку.

При розмірах блоку 2x2 всі три криві збігаються. У цьому випадку залишається тільки один з чотирьох (25%) коефіцієнтів у кожному перетвореному масиві. Цей коефіцієнт у всіх перетвореннях є постійною складовою, так що зворотне перетворення попросту заміняє значення всіх чотирьох пікселів блоку їх середнім значенням. Цей ефект добре видно на Рис. 1.34 (г), де показаний збільшений фрагмент результату ДКП з блоками 2x2. Зауважимо, що блокові спотворення, які максимальні на даному зображенні, зменшуються при збільшенні розмірів блоку до 4x4 і 8x8 на Рис. 1.34 (д) і (е). Для порівняння, на Рис. 1.34 (в) показаний збільшений фрагмент вихідного зображення. Крім того, для зіставлення з результатами попереднього прикладу, на Рис. 1.34 (а) і (б) представлено відновлене зображення (після усікання 75% коефіцієнтів) а також зображення отриманих помилок.

Подання в двійковій формі

Помилка відновлення, пов'язана з усіканням розкладань (1.5-38), є функцією числа і відносної важливості відкидаються коефіцієнтів перетворення, а також точності, використовуваної для представлення значень зберігаються коефіцієнтів. У більшості систем трансформаційного кодування вибір залишкових коефіцієнтів, тобто побудова замаскованої функції в (1.5-37), здійснюється або детерміновано на основі аналізу дисперсії значень коефіцієнтів по всім блокам (зональне кодування), або адаптивно - вибором коефіцієнтів з максимальними значеннями (порогове кодування). Весь процес, включающій усікання, квантування і кодування коефіцієнтів, зазвичай називають представлені в двійковій формі.

а) б)

в) г)

д) е)

Рис. 8.34. Наближення зображення на Рис. 8.23 при збереженні 25% коефіцієнтів ДКП та різних розмірах блоку: (а) відтворене зображення, блок 8x8; (б) посилене зображення помилок; (в) збільшений фрагмент вихідного зображення; результат відновлення (в) з використанням (г) блоку 2x2 ; (д) блоку 4x4; (е) блоку 8x8.

Приклад 1.21. Двійкове подання.

На Рис. 1.35 (а) і (б) показані два наближення зображення на Рис. 1.23, в яких при ДКП перетворенні по блокам 8x8 були відкинуті 87,5% коефіцієнтів. Перший результат був отриманий використанням порогового кодування, що залишає 8 найбільш великих коефіцієнтів кожного блоку, а другий - за допомогою зонального кодування. В останньому випадку кожен коефіцієнт ДКП розглядався, як випадкова величина, розподіл якої визначаєтьсяь по всьому ансамблю блоків на зображенні. Були знайдені 8 розподілів з максимальними дисперсіями (12,5% з 64 коефіціента блоку 8x8), і відповідно до їх розташуванням була сформована маска, аналогічна в (1.5-38), використовувана для всіх блоків. Зверніть увагу, що при пороговому кодуванні (Рис. 1.35 (в)) різницеве ​​зображення містить значно менше помилок, ніж при зональному кодуванні (Рис. 1.35 (г)). На Рис. 1.35 (д) і (е) показані збільшені фрагменти відновлених зображень (а) і (б).

Реалізація зонального кодування

Зональне кодування засноване на концепції теорії інформації про кількість інформації як міру невизначеності. Таким чином, коефіцієнти перетворення з максимальною дисперсією містять максимум інформації, і, значить, повинні зберігатися в процесі кодування. Самі ж варіації можуть бути обчислені, або безпосередньо з ансамблю масивів перетворених блоків, також як і в попередньому прикладі, або на підставі прийнятої моделі зображення (скажімо, Марковської автокореляційної функції). У будь-якому випадку, згідно (1.5-38), зональний відбір коефіціента може розглядатися як множення кожного коефіцієнта на відповідні елементи зональної маски, яка аналогічна коефіцієнтам , і містить одиниці в точках максимальної дисперсії і нулі у всіх інших точках. Зазвичай коефіцієнти з максимальною дисперсією розташовуються поблизу початку координат перетвореного блоку; типовий приклад зональної маски представлений на Рис. 1.36 (а).

а) б)

в) г)

д) е)

Рис. 1.35. Наближення зображення на Рис. 1.23 при збереженні 12.5% коефіцієнтів ДКП по блокам 8x8: (а), (в) і (д) результати порогового кодування; (б), (г) і (с) - результати зонального кодування.

Коефіцієнти, що залишаються в процесі зонального відбору, повинні бути проквантовані і закодовані, тому іноді зональна маска зображується у вигляді масиву чисел, кожне з яких означає число бітів, що відводяться для кодування відповідного коефіцієнта (Рис. 1.36 (6)) . Коефіцієнтам при кодуванні може відводитися як рівне, так і нерівне число бітів. У першому випадку коефіцієнти, як правило, нормалізуються за значенням їх стандартного відхилення, а потім рівномірно квантуються. У другому випадку для кожного коефіцієнта (або групи коефіцієнтів) будується окремий квантувач, подібний оптимальному квантувачеві Ллойда-Макса. При побудові квантувача, щільність розподілу значень нульових коефіцієнтів (тобто середніх значень в блоках) зазвичай моделюють розподілом Релея, а щільність розподілу значень, що залишилися коефіцієнтів - розподілом Лапласа, або гауссових розподілом.

а) б)

в) г)

Рис. 1.36. Звичайні (а) зональні маски, (б) розподіл бітів по зонах, (в) гранична маска, (г) упорядкованість коефіцієнтів.

Число рівнів квантування (а відповідно, число бітів), що відводяться кожному квантувачеві, вибирають пропорційно . Такий розподіл бітів узгоджується з теорією взаємозв'язку швидкості і спотворення (див. Розділ 1.3.3), яка свідчить, що гауссова випадкова змінна з дисперсією , при відтворенні з середнім квадратом помилки менше, ніж D, не може бути представлена ​​менш ніж битами (див. Завдання 1.11). Інтуїтивний висновок такий, що інформаційний зміст гаусової випадкової змінної пропорційно . Таким чином, число бітів, що відводиться залишилися коефіцієнтам в (1.5-38) (які в даному випадку вибираються згідно з критерієм максимальної дисперсії) повинно бути пропорційно логарифму дисперсії коефіцієнтів.

Реалізація порогового кодування

При зональному кодуванні, для всіх блоків зазвичай використовується одна фіксована маска. Порогове кодування, навпаки, є по суті адаптивним, оскільки позиції зберігаються коефіціента перетворення залежать від конкретного блоку. Фактично, порогове кодування є адаптивним підходом до трансформаційного кодування, яке завдяки своїй обчислювальної простоті, найчастіше і використовується на практиці. В його основі лежит той принцип, що в будь-якому блоці коефіцієнти перетворення, які мають найбільшу амплітуду, дають найзначніший внесок у інформаційний зміст відновлюваного блоку, що і було продемонстровано на останньому прикладі. Оскільки положення найбільших коефіцієнтів від блоку до блоку міняються, елементи упорядковуються (попередньо заданим методом) в одномірну послідовність, згодом кодованих кодом довжин серій. На Рис. 1.36 (в) представлений приклад типової порогової маски для одного блоку деякого гіпотетичного зображення. Ця маска дозволяє проілюструвати процес порогового кодування, математично описуваного формулою (1.5-38). Після маскування, двовимірний масив з коефіцієнтів перебудовується за допомогою зигзаг упорядкування (названого також Z-упорядкуванням). Зигзаг упорядкування очевидно з Рис. 1.34 (г), де показана черговість, в якій вибираються коефіцієнти. Сформований одновимірний масив з коефіцієнтів містить довгі серії постійних кодів, у другій половині - нулів, які добре стискуються кодуванням довжин серій. Одержувана кодова послідовність піддається ще одному етапу кодування, вже із застосуванням одного з алгоритмів нерівномірного кодування, розглянутих в Розділі 1.4.

Існує три основних способи поділу коефіцієнтів перетворення в блоці по порогу, або, інакше кажучи, побудови порогової маскуючої функції у формі, заданої формулою (1.5-37): (1) використання єдиного глобального порога, однакового для всіх блоків; (2) використання індивідуальних порогів для кожного блока; (3) змінний поріг, який може змінюватися як функція розташування коефіцієнта в блоці. У першому випадку рівень стиснення може змінюватися від зображення до зображення в залежності від того, скільки коефіцієнтів виявляються вище або нижче порога. Другий варіант, названий кодуванням N-найбільших, залишає одинакову кількість коефіцієнтів у кожному блоці. Як результат, швидкість коду є постійною і заздалегідь відомою. Третій метод, як і перший, призводить до коду непостійною швидкості, але зате має ту перевагу, що дозволяє об'єднати етапи квантування і розділення по порогу, замінюючи в (1.5-38) на

де - результат квантування та поділу по порогу значення , а - елемент масиву коефіцієнтів нормалізації перетворення:

Перед тим, як нормалізовані (квантовані і розділені по порогу) коефіцієнти перетворення можуть бути піддані зворотному перетворенню для відновлення блоку зображення , вони повинні бути помножені на . Одержуваний в результаті масив є наближенням :

Тим самим, зворотне перетворення отриманих значень дасть в результаті наближення відновлюваного блоку зображення.

На Рис. 1.37 графічно зображена формула (1.5-40) для випадку . Зауважимо, що приймає ціле значення до при умові

Якщо , то і коефіцієнт перетворення виявляється усіченим або викресленим. Коли коефіцієнт видається нерівномірним кодом, довжина якого зростає із збільшенням , то число бітів, що відводяться на уявлення , управляється зміною значення с. Тобто елемент матриці Z може масштабуватись, забезпечуючи тим самим різноманіття рівнів стиску. На Рис. 1.37 (6) показані значення типового масиву коефіцієнта нормалізації. Цей масив значень, які є ваговими множниками для коефіцієнтів перетворення в блоці, складений на основі оцінок візуального сприйняття, широко використовується в стандарті JPEG.

а) б)

Рис. 1.37. (а) Крива квантування порогового кодування (див. формулу (1.5-40)). (б) Типова матриця коефіцієнтів нормалізації

Приклад 1.22. Ілюстрація граничного кодування.

На Рис. 1.38 (а) і (б) показані два варіанти наближення напівтонового зображення на Рис. 1.23 методом порогового кодування. Обидва зображення отримані при використанні ДКП по блокам 8x8 і масиву коефіцієнтів нормалізації, наведеного на Рис. 1.37 (6). Перший варіант, що забезпечує коефіцієнт стиснення 34:1, був отриманий прямим застосуванням коефіцієнтів нормалізації. Другий, на якому зображення стисло з коефіцієнтом 67:1, отриманий за допомогою масштабування (попереднього множення масиву коефіцієнтів нормалізації на 4). Для порівняння: середнє значення коефіцієнтів стиску по всім методам стиснення без втрат, розглянутих в Розділі 1.4, склало лише 2,62:1.

Відмінності між вихідним зображенням на Рис. 1.23 і відновленими зображеннями на Рис. 1.38 (а) і (6), наведені на Рис. 1.38 (в) і (г). Відповідні стандартні відхилення помилок (див. (1.1-8)) склали 3,42 і 6,33 рівнів яскравостей. Характер помилок добре видно на Рис. 1.38 (д) і (е), які є збільшеними фрагментами зображень на Рис. 1.38 (а) і (6). Вони дозволяють оцінити в деталях різницю між відновленими зображеннями.