Коллоквиум

Последовательность действительных чисел – функция f(n) определенная на множестве N всех натуральных чисел. Число f(n) – n-ый член последовательности x_n (x_n=f(n)) – формула общего члена последовательности (nϵN). Пример – (n²): 1², 2²… n². Последовательности x_n – ограниченная, если существует М>0, что для любого n из N выполняется |x_n|<=M. X_n – возрастающая, если выполняется x_n+1>=x_n. Такие последовательности – монотонные. Если все члены последовательности = одному и тому же числу с – постоянная. . Если для любого числа ε>0 существует N(ε), что при всех n из N выполняется |x_n-a|<ε, а последовательность – сходящаяся. Из этого получаем a-ε<x_n<a+ε. Интервал (a+ε; a-ε) – ε-окрестность точки а. Геометрический смысл – а является пределом последовательности, если в любой его окрестности есть почти все ее члены. Сходящаяся последовательность имеет только 1 предел. Последовательность без предела – расходящаяся. Постоянная последовательность = с имеет предел т.к. |x_n-c|=|c-c|=0<ε. Теорема Вейерштрасса – всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел, например х_n=(1+)ⁿ, nϵN, предел которой . Число е – неперово число =2,718281…, принято за основание натурального логарифма -

Предел функции числа А в точке х₀ – для любого положительного ε есть положительное число ∆, что для всех x≠x₀, удовлетворяющих |x-x₀|<∆ выполняется |f(x)-A|<ε = . ∆ зависит от ε. Число А₁ – предел функции y=f(x) слева в точке x₀, если для любого положительного ε есть положительное число ∆ такое, что при хϵ(х₀-∆; х₀) выполняется |f(x) – A₁|<ε – . Точно также и с пределом функции справа от х₀. Пределы справа и слева – односторонние пределы. Если существует , то есть оба односторонних предела A=A₁=A₂. Если А₁≠А₂, то предел не существует. Пусть y=f(x) определена на всей числовой прямой (-∞; +∞). Число А – предел функции при х, если для любого ε>0 есть такое положительное число М=М(ε), что при всех х удовлетворяющих |x|>M выполняется |f(x)-A|<ε –

Бесконечно малая y=f(x) – при x, если . Обозначаются α,β… Пример y=x⁴ при х, y=x+5 при х. Теорема – Алгебраическая сумма конечного числа б.м. функции есть б.м. Есть 2 б.м. α(х) и β(х) при , значит . Для любого ε>0 и ε/2 есть ∆>0, что для всех х удовлетворяющих 0<|x-x₀|<∆ выполняется |α(x)|<ε/2. Также и для β(х). Имеет место соотношение |α(x)+β(x)|<ε/2+ε/2=ε. Таким образом Теорема – Произведение ограниченной функции на б.м. функцию – есть функция б.м. Следствие: произведение б.м. на число – есть б.м. и т.к. б.м. ограничена, то произведение 2-х б.м. есть б.м. Теорема – Частное от деления б.м. на функцию, имеющую ≠0 предел – есть б.м.

Бесконечно большая y=f(x) – при x, если для любого M>0 есть ∆>0 зависящее от M, что для всех х=0<|x-x₀|<∆ выполняется |f(x)|>M. Пример y=3^x при х. Б.М. и Б.Б. тесно связаны. Теорема – Если α(x) – б.м. (α≠0), то 1/α(х) – б.б. и наоборот. Пусть α(х) – б.м. при x, тогда |, значит – б.б. Аналогично и обратное утверждение. Все док-ва теорем работают и для случая когда

Теорема 1 – Если f(x) имеет предел =А то ее можно представить как сумму числа А и б.м. α(х), т.е. если , то f(x)=A+α(x). Теорема 2 обратная Теореме 1. Во всех этих теоремах пределы существуют и х может стремится как к х₀, так и к ∞. Теорема 3 – предел суммы (разности) 2-х функций = сумме (разности) их пределов: . Пусть , тогда по теореме 1 – f(x)=A+α(x) и ϕ(x)=B+β(x), где α(х) и β(х) – б.м. при x. Тогда f(x)+ϕ(x)=A+α(x)+B+β(x). Сумма α(x) и β(х) – б.м., тогда по теореме 2 число А+В – предел f(x)+ϕ(x), т.е. . В случае разности все аналогично. Теорема 4 – Предел произведения 2-х функций = произведению их пределов: . В частности . Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Теорема 5 – Предел дроби = пределу числителя деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя ≠0. Теорема 6 (о пределе промежуточной функции) – если f(x) заключена между 2-мя функциями ϕ(х) и g(х) к одному пределу, то она также к этому пределу, т.е.

1-ый замечательный предел – . 2-ой замечательный предел – , если положить 1/х=α (α0 при х∞)

2 б.м. функции сравниваются с помощью отношения. Сумма, разность и произведение б. м. – есть б.м. Отношения бывают – конечным числом, б.б., б.м. или не стремиться ни к какому пределу. Пусть 𝛼(𝑥)и 𝛽(𝑥) − 2 б. м. (т.е. ): 1) Если б.м. 1-го порядка. Если с=1, то эквивалентные б.м. 2) Если , то α(х) б.м. более высокого порядка, чем β(х). 3) Если , то α(х) б.м. более низкого порядка. 4) Если не существует, то несравнимые б.м. Таковы сравнения б.м. при 𝑥→𝑥₀≠0, 𝑥→±∞. Теорема – Предел отношения 2-х б.м. не изменится, если каждую или 1 из них заменить эквивалентной ей б.м. 1). При x0

y=f(x) непрерывная в точке х₀: 1) f(x) – определена в точке х₀ и ее окрестности 2) существует предел при хх₀ 3) предел при хх₀ = значению функции в точке х₀. Следствие – при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции. Если то f(x) непрерывна справа от 0. Аналогично и слева. Пусть f(x) определена на некотором интервале (а,b). Возьмём произвольную точку 𝑥₀∈(𝑎,𝑏) для любого 𝑥∈(𝑎,𝑏) разность 𝑥−𝑥₀ – приращение аргумента x в точке 𝑥₀, обозначается ∆𝑥. Отсюда 𝒙-𝒙₀=∆𝒙. Разность соответствующих значений 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥₀)−приращение f(x) в точке 𝑥₀ и обозначается ∆𝑦=𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0), значит ∆𝒚=𝒇(𝒙₀+∆𝒙)−𝒇(𝒙₀), значит,=𝟎 или . y=f(x) непрерывна в точке х₀, если она определена в данной точке и ее окрестности, и выполняется предыдущее равенство, т.е. б.м. значению ∆х соответствует б.м. приращение ∆у. y=f(x) – непрерывна на отрезке [a,b] если она определена на интервале (𝑎,𝑏) и непрерывна слева в точке а и справа в точке b. Точка 𝒙₀ − точка разрыва y=f(x), если она принадлежит области определения f(x) или её границе и не является точкой непрерывности. 𝒙₀ – точка разрыва 1-го рода, если в этой точке существуют конечные пределы справа и слева, т.е. . При этом: 1) Если А₁=А₂, то точка 𝑥₀ – точка устранимого разрыва; 2) Если А₁≠А₂, то точка 𝑥₀ – точка неустранимого разрыва. |А₁−А₂| - скачок f(x) в точке разрыва 1-ого порядка. 𝒙₀ – точка разрыва 2-ого порядка, если хотя бы 1 из односторонних пределов не существует или = ∞

Теорема – Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, тогда f(x)±g(x); f(x)∗g(x); (g(x)≠0) так же непрерывны в этой точке. Справедлива для любого конечного числа слагаемых или сомножителей.

Теорема (1-ая теорема Больцано-Коши) – Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах имеет значение разных знаков, тогда существует точка 𝐶∈(𝑎,𝑏), в которой значение 𝑓(𝑐)=0. Геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, по отношению к оси, на другую, пересекает эту ось. Теорема (2-ая теорема Больцано-Коши) – Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b], причём f(a)=A, f(b) = B. Пусть далее С – число (любое), заключённое между А и В, тогда на отрезке [a,b] найдётся такая точка с , что значение f(x) в этой точке равно C – f(С)=C (Другими словами: непрерывная f(x) при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения). Теорема (1-ая теорема Вейерштрасса) – Если f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке. Геометрический смысл: график f(x) не выходит из полосы, ограниченной y=-M, y=M. Теорема становится неверной, если в ней отрезок [a,b] заменить интервалом (a,b). Теорема (2-ая теорема Вейерштрасса) - Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своё наибольшее и наименьшее значения. f(x)<=f(x₁)=M (max) и f(x)<=f(x₂)=m (min)