4. Основы z-преобразования
Теория Z-преобразования применима к любым системам или устройствам, описываемым системой линейных разностных уравнений, и в ЦАС соответствует применению преобразования Лапласа в непрерывных САУ в виде качественно аналогичных понятиях передаточных функций и ЛАФЧХ. В ряде случаев проектирование непрерывной системы может быть облегчено путем исследования ее импульсной модели вследствие простоты определения оригинала Z-преобразования.
Производители цифровых средств автоматического управления нередко «по умолчанию» не указывают дискретную «природу» прибора и оперируют его описанием как непрерывного, «забывая» сообщать пользователю период квантования Т, определяющий область применения цифрового автоматического регулятора.
Дальнейшие сведения являются выборками из теории ЦАС и примерами анализа ЦАС, необходимыми для понимания физической картины работы цифровых автоматических систем и сопровождаются минимальным математическим аппаратом, позволяющим решать задачи управления средней сложности, при необходимости достаточным для дальнейшего расширения базы знаний.
Z-преобразованием описывается поведение квантованной во времени функции х*(t) только в дискретные моменты времени t = =kT. Z-преобразование образуется из преобразования Лапласа этой функции подстановкой z = e pT, где Т – период квантования, т.е. если , то
.
(6)
Преобразование
однозначно.
Преобразование
неоднозначно.
5. Вычисление z-преобразований
Задачей является вычисление соотношений функций -оригиналов и их изображений в z-форме, необходимых для дальнейшего изложения функций, простейшими способами.
Рис. 8. Экспоненциальная
функция
(рис. 8);
,
где Тo
– постоянная
времени. Для t
= kT
значения
.
Тогда на основании (6)
.
(7)
2. Ступенчатая
функция I(t)
(для t
0 I(t)
= 1;
I(t)
= 0, рис. 9); I(p)
= 1/p.
Рис. 9. Ступенчатая
функция
.
В силу линейности
Z-преобразования
при
0 изображение lim
.
.
(8)
3. Экспоненциальная функция вида
;
.
В силу линейности Z-преобразования
.
(9)
Среди остальных соответствий оригиналов и изображений отметим следующие:
4. Линейная функция
.
(10)
5. Квадратичная функция
.
(11)
6. Основные теоремы z-преобразования
Умножение оригинала на «экспоненциальную функцию»:
.
(12)
Пример.
Для ступенчатой функции
.
Но если исходная функция – оригинал
I(t)
– умножается на
,
то
.
Теорема сдвига:
.
(13)
Пример.
Исходная функция
.
При сдвиге на один такт (рис. 10) получаем
.
Рис. 10. Сдвиг на один такт
Предельные теоремы:
- конечное значение функции:
(14)
- начальное значение функции:
(15)
Пример.
или
Конечное значение
при z
1.
Начальное значение:
при z
.