Изменчивости главных компонент.

 

На рис. 4.1 изображен вариант изменения кумулятивной изменчивости главных компонент. Из графика непосредственно видно, что первые четыре компоненты определяют около 95% общей изменчивости переменных  , так что доля 5-й и последующих компонент явно незначительна. В этом случае в модель целесообразно включить лишь первые четыре компоненты.

В том случае, если  = 0, матрица   имеет ранг rn,  у нас имеется лишь r отличных от нуля собственных чисел, которым соответствуют r главных компонент, определяющих суммарную изменчивость переменных  , i=1,2,..., n. Тогда число включаемых в модель компонент не превосходит числа r. В исследованиях реальных процессов число главных компонент обычно существенно меньше количества независимых переменных.

Отобрав существенные главные компоненты можно приступить к построению эконометрической модели, в которой они выступают в качестве независимых переменных, опосредованно отображая влияние факторов  , i=1,2,..., n на характер изменения зависимой переменной  .

Представим такую модель в линейном виде.

 

                         

 

где ₁,..., _k; _t  – ошибка модели в момент t.

Вследствие ортогональности новых независимых переменных z₁, z₂, ..., z_k при использовании МНК для определения неизвестных коэффициентов _j,  j=1, 2,..., kмодели (4.48) вычислительных проблем не возникает. Заметим, что ковариационная матрица оценок с_j  коэффициентов модели _j  на практике имеет следующий вид:

 

Соv(с)=_u²(ZZ)^–1=_u²(В   В)^–1=_u ²  , (4.49)    

 

где   рассматривается как оценка дисперсии ошибки _t   модели (4.48) и   – расчетные значения центрированной переменной  , t=1,2,..., Т. Таким образом, дисперсия оценки j-го коэффициента модели и взаимные ковариации этих оценок определяются следующими выражениями:

 

²(с_j)=_u² _j =_u²b_j  ( )^–1b_j,                   (4.50)

cov(с_j, с_i)=0;     j, i=1,2,...,k; ji.

 

Следует однако заметить, что использование моделей с главными компонентами в социально-экономических исследованиях порождает ряд проблем содержательного характера. Дело в том, что каждая из компонент, будучи линейной комбинацией изначально отобранных в модель факторов, в общем случае не допускает четкого содержательного толкования, поскольку эти факторы часто имеют различную природу и возможно разные единицы измерения. В такой ситуации дать удовлетворительное содержательное (экономическое) обоснование закономерностям изменения переменной у_t в зависимости от изменения компонент, природа которых не поддается четкому объяснению, довольно затруднительно.

Содержание компонент достаточно сложно установить и в ситуациях, когда факторы х_i имеют сходное содержание (например, в экономических исследованиях все факторы часто удается представить в стоимостном виде). Однако и в этом случае компонентам, которые являются различными вариантами экономически не определенных линейных комбинаций пусть и объективных стоимостных характеристик, дать убедительное содержательное обоснование обычно не представляется возможным.

С содержательной точки зрения более обоснованным представляется другой подход, согласно которому после построения модели с главными компонентами, осуществляется переход к модели с изначально отобранными факторами. Это несложно сделать путем подстановки в выражение (4.48) уже сформированных линейных комбинаций (выражение (4.21)). Проделав несложные преобразования, получим:

 

 

где   – коэффициенты, которые можно рассматривать как “оценки оценок” коэффициентов исходной модели (4.18).

Однако, если количество включенных в модель компонент  k меньше числа изначальных факторов п (k  п), имеется в виду случай, когда матрица ( ) имеет ранг п, то уравнение (4.51) не соответствует исходному варианту эконометрической модели (4.18), т. е.   Отличия этих уравнений обусловлены потерями информации вследствие невключения в модель нескольких “малозначимых” компонент. Формальное соответствие этих показателей достигается только в том случае, когда в модель включают все п компонент. Вместе с тем заметим, что увеличивать число главных компонент за счет “малозначимых” также нецелесообразно, поскольку если собственное число матрицы   близко к нулю при его определении в ходе решения характеристического уравнения

 

( )–Е=0.                                (4.52)

 

возникают ошибки округления. Они опять же способствуют тому, что модель, построенная с использованием процедуры (4.51) не будет соответствовать истинной модели процесса.

Заметим, что рассмотренный подход неприемлем и  в ситуации, когда две или несколько изначальных переменных   связаны строгой линейной зависимостью (например,  =₀+₁ ), т. е. матрица   имеет  ранг r п. В этом случае можно показать, что коэффициенты при зависимых переменных, полученные из модели с главными компонентами, оказываются пропорциональны угловому параметру этой зависимости ₁ и не имеют отношения к истинным их взаимосвязям с переменной  .

Таким образом, при использовании главных компонент обычно приходятся выбирать “меньшее из нескольких зол”, порожденных проблемами с вычислениями, проблемами с содержательной интерпретацией компонент, проблемами с потерей точности при построении модели. Частичный компромисс при решении этих проблем возможен, когда компоненты строятся на основе неполного набора исходных факторов, между которыми существует сильная зависимость, а остальные факторы включаются в модель без преобразования. Например, если исходные переменные х₁,..., х_m  связаны между собой и с переменными х_m+1,...,х_n  относительно слабой корреляционной зависимостью, а между последними эта зависимость является достаточно сильной, что служит причиной плохой обусловленности матрицы  , то главные компоненты целесообразно формировать только на основе переменных с индексами i=т+1,..., п. Этот прием оказывается особенно полезным, когда переменные х_m+1,..., х_n  являются однородными по своему содержанию. В таких ситуациях иногда удается придать им вполне конкретный смысл.

В заключении данного раздела заметим, что при разномасштабных исходных факторах различной природы рекомендуется главные компоненты строить на основе их нормированных безразмерных величин. Их получают путем следующего преобразования:

                                             

 

где  – cреднеквадратическое отклонение переменной x_i, i=1, 2,..., n.

В этом случае удается избежать влияния масштаба переменных x_i  на оценки параметров моделей и легко оценивается истинное влияние каждой из них и на главные компоненты и на зависимую переменную у_t.