Розділ 1. Математичні основи комп’ютерної графіки основи Подання геометричних образів на еом

Декартова система координат – основа чисельного моделювання об'єктів. За поодинокими винятками, всі графічні пристрої працюють на базі цієї системи. Інженери при необхідності використовують і інші системи (полярні, сферичні і т. п.), а безпосередньо перед виведенням інформації на графічні пристрої значення можуть бути перераховані.

Як задається точка знають всі, а як задаються інші фігури? Окружність задається трьома числами: x-і y-координатами центру та радіусом; для еліпса на додаток до координат центру потрібно додати величини двох його півосей і ще напрям однієї з осей. Одну і ту ж фігуру можна задати різними способами, але зазвичай виділяють ті, для яких кількість параметрів є мінімальним. Це мінімальна кількість називають – параметричним числом образу. Складаючи програми і алгоритми машинної графіки, треба знати параметричні числа основних геометричних образів.

Таблиця 1

Таблиця параметричних чисел для деяких геометричних образів

Об'єкт	Розмірність простору	Параметричне число
Відрізок на площині	2	4
Відрізок в просторі	3	6
Коло в просторі	3	6
Сфера	3	4
Дуга кола на площині	2	5
Прямокутник загального положення	2	5
Еліпс загального положення	2	5
Еліпсоїд	3	9
Поверхня другого порядку	3	9
Лінія полінома ступеня	2	n+1

У заданні об'єкта можуть також брати участь «логічні параметри». При цьому можна обмежитися числами 0 і 1 або ж встановлювати параметр по знаку числа. Ці параметри не впливають на параметричні числа об'єктів. Наприклад, точка на колі може бути задана значенням однієї з її координат (X або Y), але треба буде вказати, на який півкола вона може перебувати.

В машинній графіці важливо знати, з якого кінця будується геометричний компонент, в цьому випадку має задаватися напрям креслення. Це потрібно для визначення видимості сторін. Напрямок обходу тіла можна задаватись знаком «+» або «-», можна скористатися дотичними, але найчастіше використовуються дотичні вектори, або вектори напряму. Вектор на площині можна задати двома його проекціями, дотичні вектори мають довільну довжину – тому можна обмежитися одним числом, проте з міркування зручності користуються проекціями. На рис. 1.1a показана дуга, побудована за двома кінцевими точкам та проведеними по них дотичними векторах. Цей набір (кінцеві точки і дотичні вектори) – одна з типових конфігурацій даних. Якщо напрямок одного з векторів змінити на протилежне, то ми побачимо картину, показану на рис. 1.1б.

а б

Рис. 1.1.

Таким чином, у лінії можна буде виділити дві області («сторони»): «позитивну», з якою будуть розташовуватися нормальні вектори, і «негативну». Лінії, проведені на поверхні, ділять поверхню, а поверхні ділять простір. Дана методика застосовується для розв'язання задач нанесення штрихування на різні елементи креслення, визначення приналежності точки тіла складної форми, виділення видимих ​​або ж обмежених частин і поверхонь.

Способи представлення об'єктів.

Торкнемося двох різних способів подання геометричних об'єктів в ЕОМ.

Перший спосіб – це аналітичні моделі. Аналітична модель є набір чисел і, якщо необхідно, логічних параметрів, які грають роль коефіцієнтів і інших величин в рівняннях, аналітичних співвідношеннях, які задають об'єкт даного типу. Наприклад, для кола основна форма аналітичної моделі - координати центру і радіус, пов'язані відомим співвідношенням:

.

Коло, як і багато інших об'єктів, може бути задане в параметричному вигляді, де крім координат є ще одна змінна величина – параметр. Параметричне завдання образів широко застосовується в комп'ютерній графіці.

Другий спосіб чисельного моделювання геометричних об'єктів в ЕОМ – це координатні моделі. У простих випадках – це набори точок, які належать об'єктам і задаються координатами. Для кривих і ламаних ліній точки розташовуються в тому ж порядку, що і на лінії. Упорядкувати точки поверхні – більш складне завдання: у більшості випадків точки послідовно розміщуються на лініях, проведених на поверхні.

Координатні моделі мають декілька різновидів:

• коодинатно-різницеві моделі – координати замінюються на їх різницю;

• крім координат для кожної точки можуть бути зазначені додаткові характеристики – проекції нормалей, векторів, значення яких інших параметрів і т. п.;

• моделі можуть доповнюватися спеціальними кодами і керуючими командами, наприклад, при описі декількох кривих це можуть бути команди закінчення кривих, коди завершення моделей та ін.;

• наближені координатні моделі – передбачається, що у зв'язку з похибками вимірювань та іншими небажаними факторами, точки цих моделей зрушені щодо їх справжнього стану; в цьому випадку виникає задача апроксимації – пошуку такої лінії або поверхні, які б проходили як можна ближче до заданих точках.

Багато графічних пристроїв мають лінійні інтерполятори. Тобто, якщо цей пристрій проекторного типу, то елементи зображення представляються у вигляді координатних моделей, доповнених керуючими командами. Послідовно задаються в них точки з'єднуються відрізками прямих, таким чином, всі криві представляються у вигляді ламаних з дрібними ланками. Цей принцип дозволяє замінювати різноманітні і складні в аналітичному відношенні об'єкти на безлічі простих об'єктів. Після цього з ними можна робити операції по одним і тим же алгоритмам. Для деяких алгоритмів послідовні точки можуть з'єднуватися дугами-яких кривих, що дозволяє знизити число опорних точок у моделі, не зменшуючи точності подання.