Пример 2. Графическое решение парной игры

Решение парной игры в общем случае можно получить, используя метод, приведенный в примере 1, когда все сводится к решению пары задач линейного программирования. В ряде частных случаев задача может быть решена графически. Это возможно, когда платежная матрица имеет вид 2n или m2. Рассмотрим порядок применения графического метода на конкретном примере.

Найти решение игры графически, если она (игра) задана платежной матрицей (Рис. 5.20):

	B1	B2	ai
A1	6	1	1
A2	2	4	2
bj	6	4

Рис. 5.20

Решение

Верхняя цена игры , нижняя цена . Поскольку , решение ищем в смешанных стратегиях.

Пусть X₀=(p₁, p₂) оптимальная стратегия игрока A, тогда его чистый выигрыш против стратегии B₁ равен H(X₀,B₁)=6p₁+2p₂, против стратегии B₂ равен H(X₀,B2)=1p₁+4p_{2 .}

Для графического определения оптимальной стратегии игрока A рассмотрим Рис. 5.21. На нем изображена прямоугольная система координат (p_2,0,H) и дополнительная ось проходящая через точку P₂ =1. На Рис. 5.21 линия B₁ есть геометрическое место точек (ГМТ), расстояние до которых от оси 0p₂ равно величине выигрыша полученного при B₁ против X₀.

На том же рисунке (Рис. 5.21) линия B₂ есть ГМТ, расстояние до которых от оси 0P₂ равно величине выигрыша, полученного при B₂ против X₀.

Ломанная LMN – есть нижняя граница выигрыша игрока A, точка M определяет наибольший выигрыш.

Координаты точки M можно определить, решив систему:

(5.17)

Ее решением являются . Это позволяет определить цену игры .

Проведем аналогичные рассуждения для игрока B.

Для графического определения оптимальной стратегии игрока В рассмотрим Рис. 5.22. На нем изображена прямоугольная система координат (q₂,0,H) и дополнительная ось, проходящая через точку q₂ =1.

Пусть Y₀=(q₁,q₂) оптимальная стратегия игрока B, тогда его чистый выигрыш:

• против стратегии A₁ равен H(A₁,Y₀)=6q₁+1q₂

• против стратегии A₂ равен H(A₂,Y₀)=2q₁+4q₂

На Рис. 5.22 линия А₁ есть ГМТ, расстояние до которых от оси 0q₂ равно величине проигрыша, полученного при A₁ против Y₀, а линия A₂ есть ГМТ, расстояние до которых от оси 0q₂ равно величине проигрыша, полученного при B₂ против X₀.

Ломанная PQR – есть верхняя граница проигрыша, точка Q определяет наименьший проигрыш B.

Координата q₂ точки Q определяются системой:

(5.18)

Решением этой системы являются величины , что позволяет вычислить повторно (для самопроверки) цену игры .

Таким образом, точное решение игры в смешанных стратегиях: (2/7, 5/7;  4/7, 3/7;   ).

Его можно записать приближенно, перейдя к десятичным дробям для сравнения (0,2857, 0,7143; 0,4286, 0,5714; 3,1429). Заметим, что данную игру можно было решить, используя общий подход, сведя задачу к паре задач ЛП, как это показано на Рис. 5.23. Рис. 5.24.

Заметим, что решения полностью совпали.

Рис.5.21. Графическое определение оптимальной стратегии игрока A

Рис 3.22 Графическое определение оптимальной стратегии игрока В

Рис. 5.23. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных (решение парной игры) примера 1.

Рис. 5.24. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул (решение парной игры) примера 1