Лабораторная работа 5. Теория игр. Парные игры,

Цель: освоить графический и численный методы решения парных игр. Получить представление о следующих понятиях и методах:

• Конечные одноходовые игры двух лиц.

• Платежная матрица.

• Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса.

• Исследование платежных матриц. Платежная функция и ее седловая точка.

• Решение игры в смешанных стратегиях. Теоремы о смешанных и активных стратегиях.

• Сведение игры к паре двойственных задач линейного программирования.

• Графический метод нахождения решения игры.

Теоретические сведения. Базовые понятия

Неопределенность, с которой мы встречаемся в теории игр, является следствием сознательной деятельности (противодействия) другого лица (лиц), отстаивающего свои интересы.

Модель конфликтной ситуации, в которой имеется, по крайней мере, две конфликтные стороны, каждая из которых стремиться к достижению собственных целей называют игрой. Конфликтные стороны называются игроками. Каждый случай разыгрывания игры называют партией. Рекомендации, показывающие, как надо поступать игрокам в тех или иных ситуациях, называются стратегиями, а выбор игроком стратегии - ходом. Ограничения, которые накладываются на порядок выполнения ходов, называют правилами игры. Игра как процесс представляет собой многократно повторяющийся выбор игроками своих стратегий. Это означает, что игра это не однократный розыгрыш партии, а многократно повторяемый процесс, в идеале состоящий из бесконечного количества партий.

Математическое описание игры сводится:

• к перечислению всех действующих в ней игроков;

• указанию для каждого игрока всех его стратегий;

• численного выигрыша, который он получит после того, как игроки выберут свои стратегии.

В результате игра становится формальным объектом, который поддается математическому анализу.

Классификация игр

Существуют классификации игр по различным признакам.

1). По количеству игроков:

• игра парная

• игра множественная (нескольких противников)

2). По возможности игроков вступать в коалиции (множество игроков, действующих совместно).

• бескоалиционные игры, в которых каждая коалиция состоит лишь из одного игрока;

• коалиционные игры.

В случае коалиционных игр рассматривают так называемую кооперативную теорию бескоалиционных игр. Эта теория допускает временные объединения игроков в коалиции в процессе игры с последующим разделением полученного выигрыша или принятие совместных решений.

Другим вариантом коалиционной игры, является тот, в котором принимающие решение игроки согласно правилам игры объединены в фиксированные коалиции. Члены одной коалиции могут свободно обмениваться информацией и принимать полностью согласованные решения.

3). По выигрышу.

• игры с нулевой суммой, когда сумма всех платежей равна нулю (в случае парных игр такие игры называются антагонистическими, в них выигрыш одного игрока в точности равен проигрышу другого);

• игры с ненулевой суммой, когда сумма всех платежей не равна нулю.

4). По характеру получения информации

• игры в нормальной форме (игроки получают всю предназначенную им информацию до начала игры);

• динамические игры (информация поступает игрокам в процессе развития игры).

5.) По количеству стратегий:

• игры с конечным количеством стратегий;

• игры с бесконечным количеством стратегий.

6.) По количеству ходов:

• игры одноходовые;

• игры многоходовые игры.