6.4. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 1. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β], а = φ (α), b = φ (β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α, β].

Тогда справедливо следующее равенство

Полученная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла здесь нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t:

φ(t) = а и φ(t) = b.

Например, вычислим .

Пусть t = 2 – х². Тогда

dt = d(2 – x²) = (2 – х²)'dx = –2xdx и xdx = dt.

Если х = 0, то t = 2 – 0² = 2; если х = 1, то t = 2 – 1² = 1.

Следовательно,

6.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Рассмотрим, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 2. Пусть функции и = и(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]. Тогда

.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Например, вычислим .

Пусть и = ln(1+х), dv = dx. Тогда du = =d(ln(1+x))=(ln(1+x))'dx= ,

v = = x.

Применяя формулу интегрирования по частям для определенного интеграла, получаем

Для нахождения полученного интеграла положим 1+х=t.

Тогда dx = dt, x = t – 1.

Если х = 0, то t = 1; если х = 1, то t = 2.

Следовательно,

6.6. Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур.

1. Пусть функция у = f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой

у = f(x) на [а, b] численно равна определенному интегралу , т.е.

Например, найдем площадь фигуры, ограниченной линиями x = , x = 0,

y = 4.

Построим графики заданных функций.

Из рисунка следует, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОAВ равна разности двух площадей:

S = S_OABC – S_OBC,

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.

Решая систему получаем, что точка В – пересечения прямой у = 4 и кривой х = имеет координаты (2; 4).

Тогда

S_OABC S_OBC

Окончательно S = 8 (ед.²).

2. Пусть функция у = f(x) неположительна и непрерывна на [а, b].

Тогда

, т.е. .

Таким образом, если функция у = f(x) неположительна на [а, b], то площадь S над кривой у = f(x) на [а, b] отличается знаком от определенного интеграла .

3. Пусть на отрезке [а, b] задана непрерывная функция у = f(x) общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция у = f(x) будет знакопостоянна или равна нулю. Тогда

S = .

4. Приведем формулу, применение которой часто упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.

Теорема. Пусть на отрезке [а, b] заданы непрерывные функции у = f₁(x) и

у = f₂(x) такие, что f₂(x) ≥ f₁(x). Тогда площадь S фигуры, заключенной между

у = f₁(x) и у = f₂(x), на отрезке [а, b] вычисляется по формуле

S =

Проиллюстрируем теорему графически. Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке [а, b]:

а) f₂(x) ≥ f₁(x) ≥ 0 (рис. а), при этом

б) 0 ≥ f₂(x) ≥ f₁(x) (рис. б), при этом

в) f₂(x) ≥ f₁(x), f₂(x) ≥ 0, f₁(x) ≤ 0 (рис. в), при этом

г) общий случай (рис. г) сводится к частным случаям, рассмотренным выше, если разбить отрезок [а, b] на отдельные отрезки [а, с], [с, d], [d, b].

Например, найдем площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² – 2, у = х.

Построим графики заданных функций.

Найдем точки пересечения параболы у =х² – 2 и прямой у = х. Решив систему этих уравнений, получим А(–1; –1) и В(2; 2). На отрезке [–1, 2] х ≥ х² – 2.

Полагая f₂(x) = x, f₁(x) = х² – 2. Абсциссы точек А и В пересечения рассматриваемых линий зададут пределы интегрирования:

(ед.²).

Вычисление длины дуги плоской кривой.

Если кривая y = f(x) на отрезке [а, b] – гладкая (т.е. производная у'= f '(х)

непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

.

При параметрическом задании кривой x = x(t), у = у(t) (х (t) и у (t) – непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t₁ до t₂, вычисляется по формуле

Например, найдем длину дуги кривой у² = х³ от х = 0 до x=1 (y≥0).

Дифференцируя уравнение кривой, найдем у'= (3/2) х^1/2. Таким образом,

Вычисление объемов тел.

1. Вычисление объема тела вращения.

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f (х) и прямыми у = 0,

х = а, х = b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми х = 0,

у = с, у = d, вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения вычисляется по формуле

Следствие. Если фигура, ограниченная кривыми у₁ = f₁ (х) и у₂ = f₂ (х)

[0 ≤ f₁ (х) ≤ f₂ (x)] и прямыми х = а, х=b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

Аналогично, формула для вычисления объема тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси Оу:

,

где .

Например, найдем объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой y² = (x – 1)³ и прямой х = 2.

Построим графики заданных функций.

2. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений.

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть выражена как функция от х, т.е. в виде S = S(x) (a ≤ x≤ b), то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси Ох плоскостями х = а и x = b, находится по формуле