Примеры решения задач к главе 3
Пример 3.1. Исходя из определения производной, найти производную функции .
Решение.
Находим приращение функции
.
Отсюда
и
.
Таким образом,
Итак,
.
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:
Пример 3.2.
Решение.
.
Пример 3.3.
Решение.
Перепишем заданную функцию в виде
.
Тогда
.
Пример 3.4.
.
Решение.
Пример 3.5.
.
Решение.
Обозначим
,
тогда
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
.
Пример 3.6.
.
Решение.
.
Пример 3.7.
.
Решение.
.
Пример 3.8.
.
Решение.
.
Пример 3.9.
.
Решение.
.
Пример 3.10.
.
Решение.
.
.
Решение.
Пример 3.11.
.
Решение.
Пример 3.11.
.
Решение.
.
Пример 3.12.
.
Решение. Здесь основание и показатель степени зависят от .
Логарифмируя,
поучим
.
Продифференцируем обе части последнего равенства по .
Так как
является функцией от
,
то
есть сложная функция
и
.
Следовательно,
,
т.е.
.
Пример 3.13.
Найти угол между параболами
и
.
Решение. Решив совместно уравнения парабол, находим точки их пересечения А(2;4) и В(-2;4).
Продифференцируем
уравнения парабол:
.
Найдем угловые коэффициенты касательных
к параболам в точке А
(т.е. значения производных при
):
.
Следовательно,
,
.
Так же определяется
угол между кривыми в точке В:
.
Пример 3.14.
Найти
.
Решение.
Пример 3.15.
Найти
.
Решение.
Задания для самостоятельного решения
Найти производные функций:
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
.
3.5.
.
3.6.
.
3.7.
.
3.8.
.
3.9.
.
3.10.
.
3.11.
.
3.12.
.
3.13.
.
3.14.
.
3.15.
.
3.16.
.
3.17.
.
3.18.
.
3.19.
.
Найти производную от неявных функций:
3.20.
.
3.21.
.
3.22.
.
3.23.
.
3.24.
.
3.25.
.
3.26.
.
3.27.
.
3.28.
Найти
,
если
,
.
3.29. Найти
,
если
,
.
3.30. Найти уравнение
нормали к параболе
в точке
.
3.31. Составить
уравнение касательной к гиперболе
,
проведенной в точке М(-9;-8).
3.32.
Составить
уравнения касательной и нормали к
астроиде
проведенных в точке, для которой
.
3.33.
Составить
уравнения касательной и нормали к
циклоиде
проведенных в точке, для которой
.
3.34. Составить
уравнения касательной и нормали к
полукубической параболе
,
проведенных в точке, для которой
.
Найти производные второго порядка:
3.35.
3.36.
3.37.
3.38
3.39.
Найти дифференциалы функций:
3.40.
3.41.
3.42.
3.43.
3.44. Найти
если
3.45. Найти
если
3.46. Сравнить
приращение и дифференциал функции
3.47. Вычислить
и
для функции
при
3.48.
Найти
приближенное значение объема шара
радиуса
3.49.
Найти
приближенное значение x
из уравнения
Найти приближенное значение:
3.50.
3.51.
3.52.
3.53.
