3.3. Дифференцирование неявных функций

Пусть уравнение F(x, y)=0 определяет y как неявную функцию от x. В дальнейшем будем считать эту функцию дифференцируемой.

Продифференцировав по x обе части уравнения F(x, y)=0, получим уравнение первой степени относительно y´. Из этого уравнения легко находится y´, т.е. производная неявной функции для всех значений x и y, при которых множитель при y´ в уравнении не обращается в нуль.

Рассмотрим алгоритм нахождения производной неявной функции на конкретных примерах.

Найдем производную неявной функции, заданной равенством .

Так как y является функцией от x, то будем рассматривать как сложную функцию, зависящую от x.

Следовательно, .

Продифференцировав по x обе части данного уравнения, получим , т.е. .

Найдем производную неявной функции, заданной уравнением .

Дифференцируя по x обе части уравнения, получаем

, т.е. .

3.4. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Если функция аргумента x задана параметрическими уравнениями

то

или .

Рассмотрим нахождение производной функции, заданной параметрически на примере.

Найдем , если , .

, .

Следовательно, .

3.5. Приложения производной к задачам геометрии

Если кривая задана уравнением , то , где - угол, образованный с положительным направлением оси Ox касательной к кривой в точке с абсциссой .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

,

где есть значение производной при .

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

Уравнение нормали имеет вид

.

Углом между двумя кривыми и в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке . Этот угол находится по формуле

.

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то скорость движения в момент есть производная пути по времени: .

Например, составим уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Из уравнения кривой найдём производную:

, т.е. .

Следовательно .

Уравнение касательной

, или .

Уравнение нормали

, или .

3.6. Производные высших порядков

Производной второго порядка (второй производной) функции называется производная от её производной.

Вторая производная обозначается: , или , или .

Если - закон прямолинейного движения точки, то вторая производная пути по времени есть ускорение этого движения.

Производная третьего порядка функции есть производная от производной второго порядка: .

Производной n-го порядка от функции называется производная от её производной го порядка: .

Обозначается n-я производная так: или , или .

Производные высших порядков (вторая, третья и т.д.) вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Например, Найдем .

.

3.7. Дифференциал функции

Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть её приращения, линейная относительно приращения аргумента.

Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента:

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

Например, найдем дифференциал функции

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке M(x;y).

Основные свойства дифференциала:

1. где

2.

3. .

4.

5.

6.

Применение дифференциала при приближенных вычислениях значений функции.

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и

Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Например, вычислим приближенное значение

Рассмотрим функцию

Полагая , и применяя формулу приближенного вычисления, получим

,

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка:

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка

Вообще,

Например, найдем дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции