Раздел II. Дифференциальное исчисление
Глава 3. Производная и дифференциал
3.1. Понятие производной
Чтобы ввести понятие производной, сделаем некоторые пояснения.
Пусть
и
- значения аргумента, а
и
- соответствующие значения функции
.
Разность
называется приращением
аргумента,
а разность
- приращением
функции на
отрезке
.
Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:
,
или
.
Производная функции
имеет несколько обозначений:
,
.
Например, исходя
из определения производной, найдем
производную функции
.
Дадим
приращение
,
тогда
получит приращение
:
.
Найдем приращение функции:
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента
.
Найдем предел этого отношения:
.
Следовательно, по
определению производной
.
Геометрический смысл производной.
Производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке :
kкас.
=
.
Механический смысл производной.
Производная есть скорость изменения функции в точке :
.
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Раздел математики, изучающий производные функций и их приложения называется дифференциальным исчислением.
3.2. Правила дифференцирования и таблица производных
Основные правила дифференцирования.
Пусть С
- постоянная,
,
- функции имеющие производные.
1.
2.
;
3.
;
4.
.
Следует иметь в
виду, что
,
.
Производная сложной функции.
Рассмотрим правило дифференцирования сложной функции.
Пусть
а
,
тогда
- сложная функция и ее производная
находится по правилу дифференцирования
сложной функции
Если каждая из
функций
и
дифференцируема
по своему аргументу, то
.
Например, функция
является сложной функцией, где
.
Производная обратной функции.
Пусть функция
задана и имеет производную в некоторой
точке
.
Если она имеет обратную функцию
,
которая непрерывна в соответствующей
точке
,
то обратная функция имеет производную
в этой точке, причем производная обратной
функции равна обратной величине
производной прямой функции в соответствующей
точке.
Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.
.
Например, обратными тригонометрическими функциями являются:
;
;
;
.
Рассмотрим производную функции .
,
где
,
.
Следовательно,
.
Таблица производных основных элементарных функций и производных сложных функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, применяя таблицу производных и правила дифференцирования, найдем производные следующих функций:
1)
.
По правилу дифференцирования суммы (разности) функций:
2)
.
По правилу дифференцирования произведения функций:
.
3)
.
По правилу дифференцирования частного функций:
4)
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.